Тетраэдр — простейшее платоново тело. Математики создали такое тело, которое устойчиво только с одной стороны, что подтверждает давнюю гипотезу. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже
Эта фигура может опираться только на одну из своих четырех сторон.
Введение
В 360 году до нашей эры Платон представил космос как совокупность пяти геометрических фигур: плоских тел, называемых многогранниками. Они сразу же стали важными объектами математических исследований. Поэтому может показаться удивительным, что спустя тысячелетия даже простейшая фигура в многогранной вселенной Платона — тетраэдр, имеющий всего четыре треугольные грани, — всё ещё окутана тайнами.
Например, одна из важных открытых проблем заключается в том, насколько плотно можно упаковать «правильные» тетраэдры с одинаковыми гранями. Другая проблема — какие виды тетраэдров можно разрезать на части, чтобы затем собрать их заново в куб.
Великий математик Джон Конвей интересовался не только тем, как можно упорядочить или перестроить тетраэдры, но и тем, как они уравновешиваются. В 1966 году он и математик Ричард Гай задались вопросом, можно ли построить тетраэдр из однородного материала с равномерно распределённым весом, который мог бы опираться только на одну из своих граней. Если бы такую «моностабильную» форму поместили на любую из его других граней, она всегда переворачивалась бы на устойчивую сторону.
Несколько лет спустя дуэт ответил на свой собственный вопрос, показав, что такой однородный моностабильный тетраэдр невозможен. Но что, если бы его вес был распределен неравномерно?
На первый взгляд может показаться очевидным, что это должно сработать. «В конце концов, именно так работают игрушечные неваляшки: просто положите на дно тяжёлый груз», — сказал Дэвид Папп из Университета штата Северная Каролина. Но «это работает только с гладкими, круглыми или и теми, и другими формами». Когда речь идёт о многогранниках с их острыми краями и плоскими гранями, непонятно, как создать что-то, что всегда будет переворачиваться одной и той же стороной.
Конвей, со своей стороны, считал, что такие тетраэдры должны существовать, как его, по воспоминаниям некоторых математиков, утверждали. Но в итоге он сосредоточился на уравновешивающих актах многомерных равномерно взвешенных тетраэдров. Если он когда-либо и записал доказательство своей импровизированной трёхмерной гипотезы, то так и не опубликовал его.
И вот десятилетиями математики не задумывались над этой проблемой. Затем появился Габор Домокос, математик из Будапештского университета технологий и экономики, давно занимавшийся проблемами балансировки. В 2006 году он и один из его коллег открыли фигуру под названием гёмбёц, обладающую необычным свойством «мономоностатичности» — она балансирует всего на двух точках (одна устойчивая, другая неустойчивая, как сторона монеты), и ни на каких других. Попробуйте поставить её в равновесие в любом другом месте, и она перевернётся и встанет на свою устойчивую точку.
Но, как и толстый рулет, гёмбёц местами круглый. Домокос хотел узнать, может ли заострённый многогранник обладать подобным свойством. Поэтому гипотеза Конвея заинтриговала его. «Как возможно, что существует совершенно простое утверждение о совершенно простом объекте, а ответ всё же не приходит сразу?» — сказал он. «Я знал, что это, скорее всего, сокровище».
В 2023 году Домокос вместе со своими аспирантами Герго Альмади и Кристиной Регос, а также Робертом Доусоном из Университета Святой Марии в Канаде доказали, что действительно возможно распределить вес тетраэдра так, чтобы он опирался только на одну грань. По крайней мере, теоретически.
Но Альмади, Доусон и Домокос хотели построить это устройство, и эта задача оказалась гораздо сложнее, чем они ожидали. В опубликованном вчера в сети препринте они представили первую рабочую физическую модель этой формы. Тетраэдр весом 120 граммов и длиной 50 сантиметров по самой длинной стороне изготовлен из лёгкого углеродного волокна и плотного карбида вольфрама. Для работы его требовалось спроектировать с точностью до одной десятой грамма и одной десятой миллиметра. Но окончательная конструкция всегда переворачивается на одну грань, как и должно быть.
Этот тетраэдр, который по большей части является полым и имеет тщательно выверенный центр масс, может опираться только на одну из своих граней — свойство, которого трудно достичь в формах с прямыми краями и плоскими гранями.
Этот тетраэдр, который по большей части является полым и имеет тщательно выверенный центр масс, может опираться только на одну из своих граней — свойство, которого трудно достичь в формах с прямыми краями и плоскими гранями.
Работа демонстрирует важную роль эксперимента и игры в исследовательской математике. Она также имеет потенциальное практическое применение, например, при проектировании самовосстанавливающихся космических аппаратов.
«Я не ожидал, что появится больше работ по тетраэдрам», — сказал Папп. И всё же, добавил он, исследования команды позволяют математикам «по-настоящему оценить, как много мы не знали и насколько глубокими стали наши знания».
Переломный момент
В 2022 году Альмади, тогда ещё студент, мечтавший стать архитектором, поступил на курс механики к Домокошу. Он был немногословен, но Домокош видел в нём трудолюбивого человека, постоянно погруженного в раздумья. В конце семестра Домокош попросил его придумать простой алгоритм для исследования равновесия тетраэдров.
Когда Конвей изначально сформулировал свою задачу, единственным вариантом для него было бы с помощью карандаша и бумаги доказать существование моностабильных тетраэдров посредством абстрактных математических рассуждений. Привести конкретный пример было бы практически невыполнимо сложно. Но у Альмади, работавшего десятилетия спустя, были компьютеры. Он мог выполнить перебор методом прямого перебора среди огромного количества возможных форм. В конце концов, программа Альмади нашла координаты четырёх вершин тетраэдра, который при определённом распределении весов можно было сделать моностабильным. Конвей был прав.
Кристина Регёш (слева) и Роберт Доусон помогли открыть новые свойства тетраэдров.
Альмади обнаружил один моностабильный тетраэдр, но, вероятно, были и другие. Какие свойства у них были общие?
Хотя это может показаться простым вопросом, «утверждение типа „Тетраэдр моностабилен“ нельзя легко описать простой формулой или небольшим набором уравнений», — сказал Папп.
Команда поняла, что в любом моностабильном тетраэдре три последовательных ребра (места стыка пар граней) должны образовывать тупые углы — более 90 градусов. Это гарантировало бы нависание одной грани над другой, что позволило бы ей опрокинуться.
Затем математики показали, что любой тетраэдр с такой особенностью можно сделать моностабильным, если его центр масс находится в одной из четырёх «зон нагружения» — гораздо меньших тетраэдрических областей исходной формы. Пока центр масс находится в зоне нагружения, тетраэдр будет балансировать только на одной грани.
Гёмбёц, открытый в 2006 году, может стоять только на двух опорах: одной устойчивой и другой неустойчивой. Математики продолжают искать другие фигуры с интригующими свойствами балансировки.
Достичь правильного баланса между весом зоны нагрузки и весом остальной части тетраэдра легко в абстрактной математике — можно определить распределение веса, не заботясь о его физической возможности. Например, можно позволить некоторым частям фигуры вообще ничего не весить, сосредоточив большую массу в других частях.
Но математиков это не совсем удовлетворило. Альмади, Доусон и Домокос хотели подержать эту форму в руках. Возможно ли создать моностабильный тетраэдр в реальном мире, из реальных материалов?
Становление реальностью
Команда вернулась к компьютерному поиску. Они рассмотрели различные варианты наклона моностабильных тетраэдров на устойчивую грань. Например, один вид тетраэдра может следовать очень простому пути: грань A наклоняется к грани B, которая наклоняется к грани C, которая наклоняется к грани D. Но в другом тетраэдре грань A может наклониться к грани B, и обе грани B и D наклонятся к грани C.
Зоны нагрузки для этих разных тетраэдров выглядят совершенно по-разному. Команда подсчитала, что для реализации одной из этих «падающих моделей» им потребуется построить часть формы из материала, плотность которого примерно в 1,5 раза превышает плотность ядра Солнца.
Они сосредоточились на более реалистичной схеме падения. Тем не менее, часть их тетраэдра должна была быть примерно в 5000 раз плотнее остальной части. Материалы должны были быть жёсткими — лёгкие, хрупкие и гнущиеся материалы могли бы разрушить проект, поскольку легко сделать круглую или гладкую форму (например, кудрявый кудрявый шарик) моностабильной.
В итоге они спроектировали тетраэдр, который был преимущественно полым. Он состоял из лёгкого каркаса из углеродного волокна и небольшой части, изготовленной из карбида вольфрама, который плотнее свинца. Чтобы уменьшить вес более лёгких частей, даже каркасы из углеродного волокна должны были быть полыми.
Имея на руках этот чертеж, Домокос связался с венгерской компанией, специализирующейся на точном машиностроении, чтобы помочь построить тетраэдр. Им требовалась невероятная точность измерений, даже когда речь шла о весе крошечных капель клея, использованных для соединения каждой грани. Спустя несколько месяцев мучений и несколько тысяч евро команда получила прекрасную модель, которая совершенно не работала. Затем Домокос и главный инженер модели заметили каплю клея на одной из вершин. Они попросили техника удалить её. Примерно через 20 минут клей исчез, и Альмади получил сообщение от Домокоса.
«Работает», — гласило сообщение. Альмади, который был на прогулке, начал прыгать на улице. «Видеть линии на компьютере — это очень далеко от реальности», — сказал он. «То, что мы это спроектировали, и оно работает, — это просто фантастика».
«Я хотел стать архитектором», — добавил он. «Поэтому для меня до сих пор очень странно — как я здесь оказался?»
В конечном счёте, по словам Ричарда Шварца из Университета Брауна, работа над моностабильными тетраэдрами не потребовала каких-то особенно сложных математических вычислений. Но, по его словам, важно изначально задавать подобные вопросы. Это проблема, которую зачастую проще всего упустить из виду. «Предположить существование таких вещей — это нечто удивительное и невероятное», — сказал Шварц.
Пока неясно, какие новые теоретические открытия даст модель моностабильного тетраэдра, но эксперименты с ней могут помочь математикам раскрыть другие интригующие вопросы о многогранниках. Тем временем Домокос и Альмади работают над применением полученных в ходе их работы знаний для инженеров, которые смогут проектировать лунные модули, способные переворачиваться вверх дном после падения.
В любом случае, иногда нужно просто увидеть что-то, чтобы поверить, сказал Шварц. «Даже к теоретической математике, особенно геометрии, люди имеют право быть скептиками, потому что рассуждать пространственно довольно сложно. И ошибки возможны, люди ошибаются».
«Конвей ничего об этом не говорил, он просто предположил — так и не доказал, так и не доказал, что это неверно, ничего. И вот мы здесь, не знаю, 60 лет спустя», — сказал Альмади. «Если бы он был жив, мы могли бы положить это ему на стол и показать: вы были правы».
Источник: www.quantamagazine.org
