Используя относительно новую теорию, группа математиков начала отвечать на вопросы, корни которых лежат в самом начале математики. Сохранить статью Прочитать позже
Введение
В III веке до н. э. Аполлоний Пергский задался вопросом, сколько окружностей можно нарисовать так, чтобы каждая касалась трёх данных окружностей ровно в одной точке. Чтобы найти ответ, потребовалось бы 1800 лет: восемь.
Подобные вопросы, требующие определения количества решений, удовлетворяющих заданному набору геометрических условий, были излюбленными для древних греков. И они продолжают очаровывать математиков на протяжении тысячелетий. Сколько прямых лежит на кубической поверхности? Сколько кривых второго порядка лежит на поверхности пятой степени? (Двадцать семь и 609 250 соответственно.) «Это действительно сложные вопросы, которые легко понять», — сказал Шелдон Кац, математик из Иллинойсского университета в Урбане-Шампейне.
По мере развития математики объекты, которые математики хотели пересчитать, становились всё сложнее. Это стало самостоятельным направлением изучения, известным как исчислительная геометрия.
Казалось, математикам не будет конца в решении задач исчислительной геометрии. Но к середине XX века математики начали терять к ней интерес. Геометры вышли за рамки конкретных задач, связанных со счётом, и сосредоточились на более общих абстракциях и более глубоких истинах. За исключением кратковременного возрождения в 1990-х годах, исчислительная геометрия, казалось, была окончательно отодвинута в сторону.
Теперь, возможно, ситуация начинает меняться. Небольшая группа математиков нашла способ применить теорию, существующую уже несколько десятилетий, к задачам, связанным с перечислением. Исследователи предлагают решения не только для исходных задач, но и для их версий в бесконечном множестве экзотических систем счисления. «Если что-то сделать один раз, это впечатляет», — сказал Рави Вакил, математик из Стэнфордского университета. «Если делать это снова и снова, это становится теорией».
Эта теория помогла возродить исчислительную геометрию и связать её с рядом других областей науки, включая алгебру, топологию и теорию чисел, придав ей новую глубину и привлекательность. Эта работа также дала математикам новое понимание самых разных важных числовых систем, выходящих далеко за рамки тех, с которыми они наиболее знакомы.
В то же время эти результаты поднимают столько же вопросов, сколько и дают ответов. Теория выдаёт числа, которые ищут математики, но также даёт дополнительную информацию, которую им сложно интерпретировать.
Эта тайна вдохновила новое поколение талантов принять участие в этом деле. Вместе они выводят счёт на новый уровень в XXI веке.
Счет вперед
Все задачи исчислительной геометрии по сути сводятся к подсчёту объектов в пространстве. Но даже самые простые примеры могут быстро усложниться.
Представьте себе два круга на некотором расстоянии друг от друга на листе бумаги. Сколько прямых можно провести, касаясь каждого круга ровно один раз? Ответ: четыре.
Можно раздвинуть эти круги или уменьшить один из них вдвое, и ответ не изменится. Но переместите один круг так, чтобы он пересек другой, как на диаграмме Венна, и ответ внезапно изменится — с четырёх до двух. Вставьте меньший круг целиком внутрь большего, и ответ теперь равен нулю: невозможно провести линии, которые касаются каждого круга только один раз.
Такие несоответствия — настоящая проблема. В этом примере рассматривалось всего три различные конфигурации, но часто задача слишком сложна, чтобы исследователи могли проработать все возможные случаи. Вы можете найти ответ для одного случая, но не будете иметь ни малейшего представления о том, как он изменится при перемещении элементов.
На практике математики пытаются записать геометрические ограничения задачи в виде набора уравнений, а затем вычисляют, сколько решений удовлетворяют всем этим уравнениям одновременно. Но, хотя они знают, что количество решений не всегда будет постоянным, в природе записанных ими уравнений нет ничего, что указывало бы на то, что они наткнулись на новую конфигурацию, которая даст другой ответ.
Есть одно исключение — когда задача решается в терминах комплексных чисел. Комплексное число состоит из двух частей: «действительной» части, которая представляет собой обычное число, и «мнимой» части, которая представляет собой обычное число, умноженное на квадратный корень из −1 (то, что математики называют i).
В приведенном выше примере с кругами и линиями, если вы спросите о количестве комплексных решений ваших уравнений, вы всегда получите четыре в качестве ответа, независимо от того, какую схему вы рассматриваете.
Примерно к 1900 году математики разработали методы решения любых задач исчислительной геометрии в комплексной области. Эти методы не требовали учета различных конфигураций: какой бы ответ ни получали математики, они знали, что он должен быть верен для любой конфигурации.
Но эти методы теряли эффективность, когда математикам требовалось найти, скажем, лишь количество действительных решений уравнений в задаче перечислительной геометрии или количество целочисленных решений. Если же они ставили задачу перечислительной геометрии в любой системе счисления, кроме комплексной, противоречия снова возникали. В этих системах счисления математики не могли систематически решать вопросы перечислительной геометрии.
В то же время, загадочные, изменчивые ответы, с которыми сталкивались математики, ограничиваясь целыми или действительными числами, сделали перечислительные вопросы отличным способом исследования этих других числовых систем — для лучшего понимания различий между ними и объектами, которые в них находятся. Математики считали, что разработка методов для работы с этими системами откроет новые, более глубокие области математики.
Среди них был великий математик Давид Гильберт. Составляя список наиболее важных, по его мнению, открытых проблем XX века, он включил в него и проблему совершенствования методов решения задач исчислительной геометрии.
В 1960-х и 1970-х годах Александр Гротендик и его последователи разработали новые концептуальные инструменты, которые помогли решить проблему Гильберта и заложили основу современной алгебраической геометрии. Стремясь понять эти концепции, настолько абстрактные, что остаются непостижимыми для неспециалистов, математики в конечном итоге оставили исчислительную геометрию позади. Между тем, когда дело дошло до задач исчислительной геометрии в других числовых системах, «наши методы уперлись в стену». Исчислительная геометрия так и не стала тем маяком, который представлял себе Гильберт; вместо этого путь математикам осветили другие направления исследований.
Исчислительная геометрия больше не ощущалась как центральная, живая область изучения. Кац вспоминал, что, будучи молодым профессором в 1980-х годах, он был вынужден отказаться от этого предмета, «потому что это не пойдёт на пользу моей карьере».
Но несколько лет спустя развитие теории струн на время дало исчислительной геометрии второе дыхание. Многие задачи теории струн можно было сформулировать в терминах подсчёта: теоретики струн хотели найти количество различных кривых определённого типа, которые представляли бы движение струн — одномерных объектов в десятимерном пространстве, которые, по их мнению, образуют строительные блоки Вселенной. Исчислительная геометрия «снова вошла в моду», сказал Кац.
Но это продлилось недолго. Как только физики ответили на свои вопросы, они двинулись дальше. Математики всё ещё не имели общей схемы для решения задач исчислительной геометрии в других числовых системах и не проявляли особого интереса к её разработке. Другие области казались более доступными.
Так было до тех пор, пока математики Кирстен Викельгрен и Джесси Касс внезапно не осознали: исчислительная геометрия может дать именно тот тип глубоких идей, на которые надеялся Гильберт.
Вид с высоты птичьего полета
Касс и Викельгрен познакомились в конце 2000-х и вскоре стали постоянными коллегами. Во многих отношениях их манеры общения совершенно разные. Викельгрен — тёплая, но сдержанная и рассудительная. Всякий раз, когда я просил её подтвердить, что я правильно понял то или иное утверждение, она на мгновение замирала, а затем твёрдо отвечала: «Да, пожалуйста» — её способ сказать: «Точно, ты понял!» Касс же, напротив, полон нервного энтузиазма. Он легко возбудим и говорит очень быстро.
Кирстен Викельгрен использовала сложный набор математических методов для исследования фундаментальной природы чисел.
Но Касс и Викельгрен хорошо работали вместе и разделяли многие общие интересы, включая любовь к распространению геометрии на другие области.
В 2015 году Касс был проездом в Атланте, где жила Викельгрен, и решил поведать ей о своей последней навязчивой идее: он хотел вернуться к перечислительным вопросам в ограниченных числовых системах — этому давно заброшенному занятию.
Он принёс с собой кучу разрозненных идей и старых документов, которые казались важными. «Я понял, что это своего рода проект-пустышка», — сказал Касс. «Она очень вежливо объяснила мне, что все мои ответы — чепуха». Затем он упомянул результат 1977 года, и вдруг «в голове зажегся свет».
В этой статье 1977 года математики Гарольд Левин и Дэвид Эйзенбуд разрабатывали доказательство, требующее подсчёта. В итоге они получили особый тип выражения, называемый квадратичной формой — простой многочлен, где показатели степеней каждого члена в сумме всегда равны 2, например, x² + y² или z² − x² + 3yz.
Айзенбуд и Левин поняли, что интересующее их число спрятано на самом видном месте. Ответ заключался в «сигнатуре» формы: количестве положительных членов за вычетом количества отрицательных. (Например, квадратичная форма z² − x² + 3yz имеет два положительных члена, z² и 3yz, и один отрицательный член, x², поэтому её сигнатура равна 2 − 1, или 1.)
Это была лампочка Викельгрена. За десятилетия, прошедшие с публикации доказательства Айзенбуда и Левина, математики разработали, казалось бы, не связанную с первой теорию теорию, называемую мотивной гомотопией. Эта теория, рассматривавшая решения уравнений как особые математические пространства и изучавшая взаимосвязи между ними, была одновременно сложной и мощной. Среди прочего, она дала математикам способ описывать эти взаимосвязи с помощью определённых видов квадратичных форм.
Джесси Касс, работая над тем, что он назвал «неосуществимым проектом», помог возродить интерес к одному из старейших типов вопросов в математике.
Слушая Касса, Викельгрен сразу понял, что Айзенбуд и Левин придумали одну из таких форм. Математики, сами того не осознавая, занимались мотивной гомотопической теорией, и это дало им ответ, который они искали.
И хотя Эйзенбуд и Левин не работали над задачей исчислительной геометрии, она была достаточно похожа по духу — в конце концов, она включала счёт, — что натолкнуло Касса и Викельгрена на размышления. Возможно, они тоже смогли бы решить свои собственные задачи счёта, используя подход мотивной гомотопии. А поскольку мотивную гомотопию можно широко применять к любой числовой системе, возможно, она прольёт свет на вопросы исчислительной геометрии в этих областях, которые так долго ускользали от внимания математиков.
Более глубокий взгляд
Помните, что обычно задача исчислительной геометрии заключается в поиске количества решений, удовлетворяющих набору уравнений. Идея Касса и Викельгрена заключалась не в том, чтобы пытаться решать эти уравнения напрямую — это редко срабатывало в ситуациях, отличных от комплексных чисел. Вместо этого они переписали заданную задачу исчислительной геометрии (заданную в заданной системе счисления) в терминах пространств уравнений и функций, описывающих взаимосвязь между этими пространствами.
Переформулировав задачу таким образом, они смогли применить к ней теорию мотивной гомотопии. Это позволило им вычислить квадратичную форму. Теперь им предстояло выяснить, какую информацию об исходной задаче содержит эта квадратичная форма.
Работая с комплексными числами, они поняли, что им достаточно просто подсчитать количество различных переменных в вычисленной ими квадратной форме. Это число дало им количество решений их задачи перечислительной геометрии. Конечно, это их не особенно интересовало: у математиков уже были хорошие методы для получения такого ответа.
Поэтому они перешли к другим системам счисления. С действительными числами всё стало немного сложнее. После вычисления квадратичной формы в этой ситуации им пришлось смотреть на её сигнатуру. А сигнатура не давала точного ответа, а лишь минимум возможного ответа. То есть для любой задачи исчислительной геометрии, связанной с действительными числами, у них был способ вычислить нижнюю границу — хорошая отправная точка.
Но самым захватывающим было то, что, вычисляя квадратичную форму для других, более странных систем счисления, они также смогли получить важную информацию. Возьмём циклическую систему из семи чисел, работающую по принципу так называемой часовой арифметики: в такой системе 7 + 1 равно 1, а не 8. В этой системе они переписали свою квадратичную форму в виде массива чисел, называемого матрицей. Затем они вычислили величину, называемую определителем, и доказали, что, хотя она и не сообщает им общее количество решений, она даёт им кое-что о том, какие пропорции этих решений обладают определёнными геометрическими свойствами.
В 2017 году Касс и Викельгрен продемонстрировали это для одной из самых известных теорем исчислительной геометрии: кубическая поверхность может содержать не более 27 прямых. Используя свои новые методы, они показали, что ответ действительно равен 27 в комплексных числах. Они воспроизвели известную нижнюю границу для действительных чисел и предоставили новую числовую информацию для каждой конечной числовой системы. Всё это было объединено в одном пакете.
Источник: www.quantamagazine.org
