Неожиданное путешествие математика по физическому миру

Лорен Уильямс построила захватывающую математическую карьеру, опираясь на фрагменты фундаментального объекта, называемого положительным грассманианом. Сохранить статью Прочитать позже

Введение

Контуры математической карьеры Лорен Уильямс сформировались очень рано.

«С самого детства я обожал закономерности, — сказал Уильямс. — Мне нравилось, когда мне предлагали последовательность чисел, и я должен был найти эту закономерность и предсказать следующее число».

Но хотя многие дети очарованы закономерностями, мало кто в итоге прослеживает их так далеко или доходит до таких неожиданных мест, как Уильямс. Будучи профессором Гарвардского университета, где она стала лишь второй женщиной-математиком, получившей штатную должность в истории университета, она обнаружила соответствия, гораздо более загадочные, чем всё, что она изучала в начальной школе.

Все они связаны с одним и тем же математическим объектом, который можно описать множеством различных способов. Но, взглянув на него с совершенно новой точки зрения, 42-летний Уильямс доказал, что это ключ к разгадке тайн, скрывающихся за широким спектром, казалось бы, не связанных между собой явлений в математике и природе.

«Она всегда была бесстрашной», — сказал Федерико Ардила из Университета штата Сан-Франциско, который учился в аспирантуре вместе с Уильямсом. «Она не боится строить мосты там, где их, казалось бы, не существует».

Геометрический объект, пронизывающий работу Уильямса, называется позитивным грассманианом. Это фигура, выполняющая своего рода функцию хранения данных: каждая её точка представляет собой конкретный экземпляр более простого геометрического объекта. Это фигура, которая отслеживает другие фигуры.

Примерно в то время, когда Уильямс поступил в аспирантуру Массачусетского технологического института в 2001 году, математики разрабатывали новый подход к позитивному грассманиану. Вместо того чтобы рассматривать его как единый геометрический объект, они пытались понять его с точки зрения составляющих его частей.

Эта перспектива увлекла Уильямс, и за последние два десятилетия она сформулировала многие из ее наиболее далеко идущих последствий.

Уильямс также доказал, зачастую весьма драматичным образом, что фрагменты позитивного грассманиана можно собрать в форму, объясняющую всё: от движения волн цунами до столкновений частиц на переднем крае квантовой физики. Это своего рода попурри идей, объединенных вокруг позитивного грассманиана и уникального разума, который их породил.

«Лорен — одна из тех, кто мыслит очень ясно», — сказала Нима Аркани-Хамед, физик-теоретик из Института перспективных исследований. «Она открыта новому и склонна к приключениям».

Точка происхождения

Уильямс выросла в пригороде Лос-Анджелеса, будучи старшей из четырёх сестёр. Её отец был инженером, а мать, японоамериканка в третьем поколении, преподавала английский язык.

В детстве Уильямс любила играть на скрипке и писать стихи, но больше всего она любила читать. Ночью она не спала дольше, чем нужно, с лампой, засунутой под одеяло (в конце концов, она прожгла простыню). Летом «я часами сидела на ветвях абрикосового дерева у нас во дворе, читала книгу и ела абрикосы», – рассказывала она.

Математика привлекла её внимание в четвёртом классе, когда она приняла участие в математическом конкурсе в начальной школе. «Я неожиданно выиграла конкурс, и два учителя, которые его организовали, словно взяли меня под своё крыло», — сказала она.

В 16 лет она провела лето в исследовательской программе по математике для старшеклассников, организованной Массачусетским технологическим институтом (MIT). Это стало её первым серьёзным знакомством с комбинаторикой — разделом математики, занимающимся разбиением сложных объектов на части, их последующей классификацией и подсчётом. Она узнала об этой дисциплине от аспирантки MIT по имени Сатоми Оказаки, которая, как оказалось, сама была ученицей математика Ричарда Стэнли. (Стэнли впоследствии стал научным руководителем Уильямса по докторской диссертации.)

Поступив в Гарвардский университет, она с нетерпением ждала возможности присоединиться к более широкому интеллектуальному миру. «Мне хотелось попробовать бесконечное количество предметов и занятий, и мои однокурсники с таким же энтузиазмом, как и я, осваивали всё и увлекались всем». Она специализировалась на математике в Гарварде, который окончила в 2000 году, а затем поступила в аспирантуру Массачусетского технологического института. Там она начала изучать многогранный математический объект: грассманиан.

«Если вы хорошо понимаете грассманиан, вы можете двигаться в разных направлениях. Он занимает центральное место в математике», — сказал Бернд Штурмфельс из Калифорнийского университета в Беркли, который также является директором Института математики Макса Планка в Лейпциге, Германия.

Грассманиан получил своё название в честь Германа Грассмана, который впервые формализовал его в середине XIX века. Однако это не один точный геометрический объект, а скорее целое семейство геометрических объектов.

Чтобы понять, что такое грассманиан, начнём всего с двух чисел: 1 и 3. 3 означает, что мы находимся в трёхмерном пространстве. 1 означает, что мы будем рассматривать одномерные линии внутри этого пространства.

В этом трёхмерном пространстве есть три оси — x, y и z, которые пересекаются в точке начала координат. Теперь представьте себе прямую, проходящую через начало координат. Сделайте ещё один шаг и попробуйте представить себе все линии, которые могут пройти через начало координат, каждая со своей уникальной траекторией.

Далее представьте, что вы расположили сферу так, чтобы её центр находился относительно начала координат. Большинство этих линий пересекут её дважды, в северном и южном полушариях (за исключением тех, что проходят через экватор). Это делает два полушария практически ненужными — они несут одинаковую информацию о линиях, — поэтому мы можем забыть о южном. Оставшееся северное полушарие — это грассманиан, образованный одномерными линиями в трёхмерном пространстве. Или, как это пишут математики, Gr(1,3).

Это означает, что если вы знаете координаты точки в северном полушарии, вы знаете всё об одномерной прямой, проходящей через начало координат и через эту точку. Грассманиан — пример того, что математики называют модульным пространством, то есть это единый геометрический объект, служащий лаконичным способом отслеживания бесконечного множества других объектов.

«Перемещаясь [от одной линии к другой], вы перемещаетесь из одной точки грассманиана в другую», — сказал Ардила. «Это почти как пульт дистанционного управления».

Это лишь один пример грассманиана. Если бы мы начали с чисел 4 и 10, мы бы рассматривали четырёхмерные плоскости, проходящие через начало координат в десятимерном пространстве, а грассманиан Gr(4,10) представлял бы собой форму, в которой каждая точка представляет одну из этих четырёхмерных плоскостей. Можно построить бесконечное множество различных грассманианов, начиная с различных пар целых чисел.

С начала 1990-х годов многие математики начали изучать определённую часть грассманиана, называемую положительным грассманианом. В нашем примере, Gr(1,3), это четверть северного полушария. Её называют «положительной» частью грассманиана, поскольку, грубо говоря, все пересекающие её прямые имеют неотрицательный наклон.

Но чтобы по-настоящему понять его место в математике, математикам сначала пришлось научиться разбирать грассманиан на части.

Из многих, немногие

В 1970-х и 1980-х годах Джан-Карло Рота и его ученик Ричард Стэнли предложили новый подход к изучению сложных математических фигур. Они брали эти объекты, которые, возможно, было трудно изучать по отдельности, и разбивали их на более удобные для анализа комбинаторные фрагменты.

«У вас есть очень сложный объект, который трудно понять», — сказала Мелисса Шерман-Беннетт, аспирантка Беркли, работающая с Уильямсом. «Но вы можете разбить его на части, которые дадут вам более глубокое понимание этой большой и сложной вещи».

Когда Уильямс пришла в Массачусетский технологический институт, она прочитала основополагающие труды 1990-х годов Джорджа Люстига и его ученицы Констанце Рич, которые ввели понятие положительного грассманиана, а также более поздние работы Александра Постникова, в которых он применял комбинаторный подход к этой форме. Постников работал в Массачусетском технологическом институте, и Уильямс много времени проводила, беседуя с ним. Её завораживало, как его работа связывала эту уже каноническую форму с более распространёнными разделами математики.

«Я нашел это прекрасным сочетанием идей», — сказал Уильямс.

Чтобы понять, как грассманиан разбивается на части, вспомним, что каждая его точка кодирует свойства прямой или многомерной плоскости, проходящей через начало координат. Эти плоскости определяются векторами, которые можно записать в виде числовых массивов, называемых матрицами. Размер матрицы зависит от грассманиана. Для Gr(1,3) — одномерных прямых в трёхмерном пространстве — каждая прямая, проходящая через начало координат, задаётся матрицей размером 1 × 3, например:

[1 2 3]

Числа в матрице служат координатами точки в грассманиане, кодирующей прямую. Сам грассманиан содержит бесконечное множество точек, которые невозможно подсчитать дискретным, конечным способом. Однако из матриц можно извлечь дополнительные данные, которые можно подсчитать.

Многие матрицы имеют параметр, называемый определителем, который представляет собой единичное значение, вычисляемое на основе чисел матрицы. Также существуют «подопределители», которые вычисляются на основе подмножества значений матрицы; матрица размера 1 × 3 имеет три подопределителя.

Для работы Уильямса значение этих поддетерминант заключается в их знаках, которые могут быть положительными, отрицательными или ни одним из них (если поддетерминант равен нулю). В случае положительного грассманиана выбор ещё более ограничен: поддетерминанты могут принимать только положительные или нулевые значения.

Это превращает нечто бесконечное и неисчислимое в нечто дискретное и поддающееся сортировке: хотя существует бесконечно много различных матриц размера 1 × 3, их три подопределителя могут иметь только восемь различных знаковых комбинаций: (000), (00+), (0++) и так далее. И по техническим причинам математикам не нужно рассматривать одну из них, (000), что оставляет всего семь категорий для разделения этих бесконечных точек.

Точки распределяются по разным группам, или «ячейкам», в зависимости от их знаковой структуры. Эти семь ячеек можно рассматривать как семь фрагментов пазла, составляющих положительную грассманиану. Количество и форма этих фрагментов не очевидны при первом взгляде на общую форму. Они становятся очевидными при сортировке точек по их знаковой структуре — все точки с заданной структурой знака заполняют форму одной ячейки, или части пазла. Этот процесс сортировки точек по знаковым структурам для выявления формы фрагментов пазла особенно хорошо работает для положительной части грассманиана.

«Комбинаторика чрезвычайно богата», — сказал Рич.

Начав обучение в аспирантуре, Уильямс доказала ряд различных свойств путевых точек, образующих сортировку из положительного грассманиана в ячейки. В 2003 году она разработала формулу для подсчёта количества различных ячеек, встречающихся в положительном грассманиане любой размерности. Этот результат предвосхитил многие новаторские работы, которые она проделала позднее в своей карьере.

«Я думаю, она один из мастеров, умеющих запечатлеть комбинаторную природу объектов, которые на первый взгляд не кажутся комбинаторными», — сказал Ардила.

После того как в 2005 году она получила докторскую степень в Массачусетском технологическом институте, этот комбинаторный взгляд на позитивный грассманиан начал приводить Уильямс к неожиданным сотрудничествам.

Создавая волны

Есть много способов построить карьеру в математике. Один из них — посвятить себя разработке новой теории или решению важной открытой проблемы. Но не это мотивирует Уильямса.

«Я бы предпочла не работать над тем, над чем работают все остальные», — сказала она. «Мне не нравится ощущение, что я соревнуюсь с другими людьми ради достижения той же цели».

Её коллеги тоже заметили эту необычную черту. «Лорен — одна из самых умных людей, с которыми мне когда-либо приходилось работать, но я никогда не чувствовала, что она склонна к соперничеству», — сказала Ардила. «В ней есть что-то мягкое».

Предпочтение Уильямс к менее часто затрагиваемым задачам нашло применение сразу после окончания аспирантуры, когда она написала серию статей совместно с математиком Сильви Кортил, исследуя неожиданную связь между комбинаторикой положительного грассманиана и статистической физикой. Помимо общих математических результатов, Уильямс получила ещё кое-что от работы с Кортил, у которой родился ребёнок во время их первого сотрудничества.

«Когда я была намного моложе, я беспокоилась о том, можно ли совмещать успех в учёбе и семью», — сказала она. «Мне помогло то, что на довольно раннем этапе карьеры у меня было сотрудничество с женщинами чуть старше меня, которые добивались успеха».

Исследования Уильямс приняли новый неожиданный поворот в 2009 году, вскоре после её прихода на факультет в Беркли. В поисках новых результатов по положительному грассманиану она заметила, что физик из Университета штата Огайо цитировал её работу в своём исследовании волн на мелкой воде.

«Если кто-то пишет статью с положительным грассманианом, он всегда её рассматривает», — сказал упомянутый физик Юдзи Кодама. «Конечно, он не ожидал волн на мелководье».

Работа Кодамы была сосредоточена на изучении особого типа волн, называемых солитонами, или уединёнными волнами. Самый известный пример этого явления — цунами. Однако чаще солитонные волны возникают вблизи берега. Математика, лежащая в основе одиночного солитона, распространяющегося самостоятельно, относительно проста, но усложняется при пересечении солитонов. Физики моделируют их с помощью уравнения Кадомцева-Петвиашвили (КП): если ввести в уравнения положение волны, то уравнения КП дадут её высоту в любой момент времени в будущем. Кодама пытался понять различные типы решений уравнений КП, отражающие различные типы взаимодействия волн.

«Если один солитон и другой взаимодействуют… возникает множество закономерностей, и нам нравится их классифицировать», — сказал Кодама.

Уильямс пыталась читать работу Кодамы, стремясь понять, как грассманиан может вписаться в её работу, но она была слишком далека от её собственных исследований, чтобы понять её. Поэтому она пригласила его в Беркли, чтобы он объяснил ей всё лично. Даже тогда общение было непростым.

«Он физик и пожилой японец, и в первый день нам было очень трудно понять друг друга. Мы словно говорили на разных языках», — сказал Уильямс.

Во время разговора Кодама набросал простые схемы, иллюстрирующие взаимодействие волн: две линии, представляющие две волны, сходятся в одной точке, а затем возникает одна линия, представляющая новую волну. Рисунки показались Уильямс знакомыми. Она быстро поняла, что они отражают наглядные представления, называемые планарными двуцветными графами, которые математики используют для описания точек на положительном грассманиане.

«Он что-то объяснял и рисовал картинки, и мне было очень трудно понимать его объяснения, но я мог нарисовать ту же самую картинку совершенно по-другому», — сказал Уильямс.

В предыдущей работе было установлено однозначное соотношение между точками на положительном грассманиане и решениями уравнения КП: начните с точки на положительном грассманиане, примените немного сложной математики, и вы получите решение уравнений, которое представляет конкретное волновое взаимодействие.

Воодушевленные совпадением изображений, Кодама и Уильямс стали искать более глубокие связи между положительным грассманианом и волнами на мелководье. В итоге они показали, что при сопоставлении точки на положительном грассманиане с решением уравнения Кавано-Пьера-Пьера принадлежность этой точки к ячейке во многом определяет волновую картину, представленную решением уравнений.

«Крупномасштабное поведение волновой формации полностью определяется тем, в какой ячейке положительного грассманиана находится ваша точка», — сказал Уильямс.

В одной из их статей также содержалось хайку, написанное Кодамой и Уильямсом, отчасти в знак признания их общего японского происхождения:

Композиции из камней
выявить закономерности в волнах
по мере расширения пространства-времени

«Стать писателем или поэтом было одной из моих детских мечтаний, и я подумал: теперь у меня есть постоянная должность, и я могу быть немного сумасшедшим», — сказал Уильямс.

Как будто Грассманиан, открытый столетие назад для формализации математики прямых и плоскостей через начало координат, также индексирует явления в физическом мире — странное соответствие, которое Уильямс до сих пор не может полностью объяснить.

«Грассманиан, похоже, связан с целым рядом вещей, которые описывают «реальную жизнь», и у меня нет внятного ответа, почему так происходит, кроме того, что грассманиан — это очень фундаментальный объект в математике», — сказала она.

Волны в частицы

В 2016 году математический факультет Гарварда обратился к Уильямс с предложением присоединиться к ним. Это предложение шокировало Уильямс по двум причинам: никто другой на факультете Гарварда не занимался математикой в её стиле, и никто не был похож на неё.

«Там не было ни женщин, ни специалистов по комбинаторике», — сказала она. «Это очень тяготило меня, когда я пыталась принять решение. Я не была уверена, какой будет атмосфера». Но Уильямс очень любила свои четыре года в Гарварде в качестве студента — и три последующих года в качестве постдокторанта — и это подтолкнуло её к рассмотрению предложения университета.

Она отправилась в Кембридж и поужинала с потенциальными коллегами. Этот опыт оказался обнадеживающим, но к тому времени Уильямс уже прочно обосновалась в Калифорнии. Она беспокоилась о том, что муж и маленькие дети будут вынуждены покинуть насиженное место, и понимала, что столь заметный шаг в математическом мире может привлечь внимание общественности к ней и её работе. В конце концов, она почувствовала себя обязанной занять эту должность, чтобы вдохновить других женщин на карьеру в области математики.

«Я понял, что поступление в Гарвард даст мне возможность оказать положительное влияние на факультет, который мне очень дорог», — сказал Уильямс. «Я понимаю, насколько важны образцы для подражания. Людям бывает сложно представить свою карьеру, когда они не видят, как другие, похожие на них, делают то же самое».

Уильямс начала работать в Гарварде осенью 2018 года и стала второй женщиной, когда-либо занимавшей постоянную должность на математическом факультете университета. (Первая, Софи Морель, провела в Гарварде три года, прежде чем покинуть его в 2012 году; этой осенью Гарвард принял на работу ещё двух женщин-математиков: Лору ДеМарко и Мелани Матчетт Вуд.)

«Женщины-профессора математики в ведущих исследовательских институтах сталкиваются со множеством скрытых препятствий. В каком-то смысле приходится быть воином, но Лорен справляется со всем этим с таким изяществом», — сказала Ардила.

В то же время, пока Уильямс путешествовала по стране, она была погружена в новый грассмановский проект. Он был связан с геометрическим объектом под названием амплитуэдр, предложенным в качестве решения одной из самых сложных задач физики.

Амплитуэдр был формально описан в статье 2013 года Нимы Аркани-Хамеда и Ярослава Трнки. Он был призван помочь физикам предсказать, что происходит при столкновении фундаментальных частиц. В силу природы квантовых взаимодействий такие столкновения не являются строго детерминированными. Вместо этого они описываются амплитудой, которая представляет собой вероятность того, что столкновение произойдёт заданным образом.

Распространенный, несколько громоздкий метод вычисления амплитуд — это так называемая диаграмма Фейнмана, названная в честь её изобретателя Ричарда Фейнмана. Эти диаграммы требуют обширных и трудоёмких вычислений, которые сложно выполнять с точностью, поскольку столкновения частиц становятся всё более сложными.

Амплитуэдр — более простой способ вычисления амплитуд. Имея набор частиц, движущихся по траектории столкновения, можно использовать их свойства для построения геометрического объекта — амплитуэдра. Он точно отражает взаимодействие частиц: вычисляя его объём, вы фактически вычисляете амплитуду для данного столкновения.

«Мы строим форму, а ее объем дает мне амплитуду», — сказал Аркани-Хамед.

Итак, вопрос в том, как вычислить объём. Один из подходов — разбить амплитуэдр на части. Этот процесс, называемый триангуляцией, легко проиллюстрировать на примере. Представьте, что у вас есть шар, и вы хотите найти его объём. Один из косвенных способов сделать это — заполнить его трёхмерными треугольными плитками. Общий объём равен сумме объёмов всех плиток, использованных в триангуляции.

«В первом приближении [физиков] интересует объём амплитуэдра, и один из способов его вычисления — разбить его на более мелкие части. Именно поэтому они хотят триангулировать амплитуэдр», — сказал Уильямс.

Аркани-Хамед и его коллеги определили амплитуэдр относительно положительного грассманиана. Они продемонстрировали, что положительный грассманиан можно преобразовать в амплитуэдр, умножив его на определённый тип матрицы, фактически предоставив математический рецепт для перемещения точек положительного грассманиана в точки амплитуэдра. В результате информация об относительно хорошо изученном положительном грассманиане переносится в относительно неизученный амплитуэдр.

За последние три года Уильямс расширила это соответствие. Она продемонстрировала, что в некоторых случаях комбинаторные свойства положительного грассманиана — способ распределения его точек по ячейкам — переносятся на амплитуэдр посредством этого процесса преобразования. Это означает, что ячейки положительного грассманиана могут служить плитками, необходимыми для триангуляции амплитуэдра.

На данный момент Уильямс доказала, что это соотношение справедливо для более простых версий амплитуэдра. Она также выдвинула точную гипотезу, предсказывающую количество плиток, необходимое для триангуляции любого амплитуэдра.

«Мы довольно долго блуждали в темноте, но [ее работа] о позитивном грассманиане стала ярким светом на протяжении всего этого процесса», — сказал Аркани-Хамед.

Осенью 2019 года Уильямс и Аркани-Хамед были одними из соорганизаторов семестровой программы в Гарварде, объединившей математиков и физиков для изучения связи между положительным грассманианом и амплитуэдром. Во время мероприятия Уильямс беседовал с двумя физиками, которые упомянули последовательность чисел, связанных с триангуляциями амплитуэдра.

Эти числа сразу показались Уильямс знакомыми: она столкнулась с ними, будучи аспиранткой, работая над другой (и не связанной) задачей по версии положительного грассманиана 16 лет назад. Но она не понимала, почему они появились в этой новой обстановке.

«Всякий раз, когда у меня появлялась свободная минутка, я возвращалась к [этим числам] и размышляла, как установить эту связь», — сказала она.

В конце концов ей это удалось, следуя еще одной удивительной закономерности, перекликающейся с числовыми последовательностями, которые завораживали ее в детстве.

«Через несколько месяцев мы поняли, в чём дело, — сказал Уильямс. — Это был просто приятный сюрприз».

Исправление: 16 декабря 2020 г.

В более ранней версии этой статьи ошибочно утверждалось, что грассманиан Gr(4,10) будет 10-мерной фигурой. На самом деле это 24-мерная фигура.

Источник: www.quantamagazine.org