Из всех бесконечных вопросов, которые задавали дети и математики о бесконечности, один из самых больших связан с ее размером. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже
Введение
В конце блокбастера Marvel «Мстители: Финал» предварительно записанная голограмма Тони Старка прощается со своей маленькой дочерью, говоря: «Я люблю тебя 3000». Трогательный момент перекликается с более ранней сценой, в которой они занимаются игривым ритуалом перед сном, количественно определяя свою любовь друг к другу. По словам Роберта Дауни-младшего, актера, играющего Старка, эта фраза была вдохновлена похожими диалогами с его собственными детьми.
Игра может стать увлекательным способом изучения больших чисел:
«Я люблю тебя 10».
«Но я люблю тебя на все 100».
«Ну, я люблю тебя на все 101!»
Именно так «гуголплекс» стал популярным словом в моем доме. Но мы все знаем, к чему в конечном итоге приводит этот аргумент:
«Я люблю тебя бесконечно!»
«О, да? Я люблю тебя бесконечно плюс один!»
Будь то на игровой площадке или перед сном, дети сталкиваются с концепцией бесконечности задолго до уроков математики, и вполне понятно, что они испытывают интерес к этой загадочной, сложной и важной концепции. Некоторые из этих детей вырастают и становятся математиками, увлеченными бесконечностью, а некоторые из этих математиков открывают для себя новые и удивительные вещи о бесконечности.
Вы, возможно, знаете, что некоторые наборы чисел бесконечно велики, но знаете ли вы, что некоторые бесконечности больше других? И что мы не уверены, есть ли другие бесконечностей, зажатые между двумя, которые мы знаем лучше всего? Математики размышляли над этим вторым вопросом по крайней мере столетие, и некоторые недавние работы изменили то, как люди думают об этой проблеме.
Чтобы разобраться с вопросами о размере бесконечных множеств, начнем с множеств, которые легче подсчитать. Множество — это совокупность объектов или элементов, а конечное множество — это просто множество, содержащее конечное число объектов.
Два примера конечных множеств, каждое из которых состоит из четырех элементов.
Определить размер конечного множества легко: просто посчитайте количество элементов, которые оно содержит. Поскольку множество конечно, вы знаете, что рано или поздно перестанете считать, и когда закончите, вы узнаете размер своего множества.
Эта стратегия не работает с бесконечными множествами. Вот множество натуральных чисел, которое обозначается ℕ. (Некоторые могут утверждать, что ноль не является натуральным числом, но этот спор не влияет на наши исследования бесконечности.)
$латексmathbb{N} = {0,1,2,3,4,5,…}$
Каков размер этого множества? Поскольку нет наибольшего натурального числа, попытка подсчитать количество элементов не сработает. Одним из решений является простое объявление размера этого бесконечного множества «бесконечностью», что не является неправильным, но когда вы начинаете исследовать другие бесконечные множества, вы понимаете, что это тоже не совсем правильно.
Рассмотрим множество действительных чисел, которые являются всеми числами, выражаемыми в десятичном расширении, например, 7, 3,2, −8,015, или бесконечном расширении, например, $latexsqrt{2} = 1,414213…$. Поскольку каждое натуральное число также является действительным числом, множество действительных чисел по крайней мере такое же большое, как и множество натуральных чисел, и поэтому также должно быть бесконечным.
Но есть что-то неудовлетворительное в объявлении размера множества действительных чисел той же «бесконечностью», которая используется для описания размера натуральных чисел. Чтобы понять, почему, выберите любые два числа, например, 3 и 7. Между этими двумя числами всегда будет конечное число натуральных чисел: вот числа 4, 5 и 6. Но между ними всегда будет бесконечно много действительных чисел, таких как 3,001, 3,01, π, 4,01023, 5,666… и так далее.
Достаточно примечательно, что независимо от того, насколько близки два различных действительных числа друг к другу, между ними всегда будет бесконечно много действительных чисел. Само по себе это не означает, что множества действительных чисел и натуральных чисел имеют разные размеры, но это предполагает, что в этих двух бесконечных множествах есть что-то принципиально разное, что требует дальнейшего изучения.
Математик Георг Кантор исследовал это в конце 19 века. Он показал, что эти два бесконечных множества действительно имеют разные размеры. Чтобы понять и оценить, как он это сделал, сначала нам нужно понять, как сравнивать бесконечные множества. Секрет — это основа всех занятий по математике: функции.
Существует множество различных способов представления функций — обозначения функций вроде $latex f(x) = x^2 +1$, графики парабол в декартовой системе координат, правила вроде «взять входные данные и прибавить к ним 3», — но здесь мы будем рассматривать функцию как способ сопоставления элементов одного множества с элементами другого.
Давайте возьмем один из этих наборов за ℕ, набор натуральных чисел. Для другого набора, который мы назовем S, мы возьмем все четные натуральные числа. Вот наши два набора:
$латексmathbb{N} = {0,1,2,3,4,…}$ $латекс S= {0,2,4,6,8,…}$
Есть простая функция, которая превращает элементы ℕ в элементы S: $latex f(x) = 2x$. Эта функция просто удваивает свои входы, поэтому, если мы думаем об элементах ℕ как о входах $latex f(x)$ (мы называем множество входов функции «доменом»), выходы всегда будут элементами S. Например, $latex f(0)=0$, $latex f(1) = 2$, $latex f(2) = 4$, $latex f(3) = 6$ и так далее.
Вы можете визуализировать это, выстроив элементы двух множеств рядом и используя стрелки, чтобы указать, как функция $latex f$ преобразует входные данные из ℕ в выходные данные в S.
Обратите внимание, как $latex f(x)$ присваивает ровно один элемент S каждому элементу ℕ. Это то, что делают функции, но $latex f(x)$ делает это особым образом. Во-первых, $latex f$ присваивает все в S чему-то в ℕ. Используя терминологию функций, мы говорим, что каждый элемент S является «образом» элемента ℕ под функцией $latex f$. Например, четное число 3472 находится в S, и мы можем найти x в ℕ такой, что $latex f(x) = 3472$ (а именно 1736). В этой ситуации мы говорим, что функция $latex f(x)$ отображает ℕ на S. Более изящный способ сказать это — сказать, что функция $latex f(x)$ «сюръективна». Как бы вы это ни описывали, важно следующее: поскольку функция $latex f(x)$ преобразует входные данные из ℕ в выходные данные в S, при этом ничего в S не теряется.
Вторая особенность того, как $latex f(x)$ назначает выходы входам, заключается в том, что никакие два элемента в ℕ не преобразуются в один и тот же элемент в S. Если два числа различны, то их двойники различны; 5 и 11 — это разные натуральные числа в ℕ, и их выходы в S также различны: 10 и 22. В этом случае мы говорим, что $latex f(x)$ — это «1 к 1» (также пишется «1-1»), и мы описываем $latex f(x)$ как «инъективный». Ключевым моментом здесь является то, что ничто в S не используется дважды: каждый элемент в S сопряжен только с одним элементом в ℕ.
Эти две особенности $latex f(x)$ объединяются мощным образом. Функция $latex f(x)$ создает идеальное соответствие между элементами ℕ и элементами S. Тот факт, что $latex f(x)$ является «на», означает, что все в S имеет партнера в ℕ, а тот факт, что $latex f(x)$ является 1-к-1, означает, что ничто в S не имеет двух партнеров в ℕ. Короче говоря, функция $latex f(x)$ спаривает каждый элемент ℕ ровно с одним элементом S.
Функция, которая является как инъективной, так и сюръективной, называется биекцией, а биекция создает соответствие 1 к 1 между двумя множествами. Это означает, что каждый элемент в одном множестве имеет ровно одного партнера в другом множестве, и это один из способов показать, что два бесконечных множества имеют одинаковый размер.
Поскольку наша функция $latex f(x)$ является биекцией, это показывает, что два бесконечных множества ℕ и S имеют одинаковый размер. Это может показаться удивительным: в конце концов, каждое четное натуральное число само по себе является натуральным числом, поэтому ℕ содержит все, что есть в S, и даже больше. Разве это не должно делать ℕ больше, чем S? Если бы мы имели дело с конечными множествами, ответ был бы «да». Но одно бесконечное множество может полностью содержать другое, и они все равно могут быть того же размера, примерно так же, как «бесконечность плюс 1» на самом деле не является большим количеством любви, чем простая старая «бесконечность». Это всего лишь одно из многих удивительных свойств бесконечных множеств.
Еще большим сюрпризом может оказаться то, что существуют бесконечные множества разных размеров. Ранее мы исследовали различную природу бесконечных множеств действительных и натуральных чисел, и Кантор доказал, что эти два бесконечных множества имеют разные размеры. Он сделал это с помощью своего блестящего и знаменитого диагонального аргумента.
Поскольку между любыми двумя различными действительными числами находится бесконечно много действительных чисел, давайте на данный момент сосредоточимся на бесконечном количестве действительных чисел между нулем и 1. Каждое из этих чисел можно рассматривать как (возможно, бесконечное) десятичное разложение, например, вот так.
Здесь $latex a_1, a_2, a_3$ и так далее — это просто цифры числа, но мы потребуем, чтобы не все цифры были нулями, поэтому мы не включаем само число ноль в наш набор.
Диагональный аргумент по сути начинается с вопроса: что бы произошло, если бы существовала биекция между натуральными числами и этими действительными числами? Если бы такая функция существовала, два множества имели бы одинаковый размер, и вы могли бы использовать функцию для сопоставления каждого действительного числа от нуля до 1 с натуральным числом. Вы могли бы представить себе упорядоченный список сопоставлений, например, такой.
Гениальность диагонального аргумента в том, что вы можете использовать этот список для построения действительного числа, которое не может быть в списке. Начните строить действительное число цифра за цифрой следующим образом: сделайте первую цифру после десятичной точки отличной от $latex a_1$, сделайте вторую цифру отличной от $latex b_2$, сделайте третью цифру отличной от $latex c_3 $ и так далее.
Это действительное число определяется его отношением к диагонали списка. Оно есть в списке? Оно не может быть первым числом в списке, так как у него другая первая цифра. И оно не может быть вторым числом в списке, так как у него другая вторая цифра. Фактически, оно не может быть n-м числом в этом списке, так как у него другая n-м числом. И это верно для всех n, поэтому это новое число, которое находится между нулем и 1, не может быть в списке.
Но все действительные числа от нуля до 1 должны были быть в списке! Это противоречие возникает из предположения, что существует биекция между натуральными числами и действительными числами от нуля до 1, и поэтому такой биекции не может быть. Это означает, что эти бесконечные множества имеют разные размеры. Немного больше работы с функциями (см. упражнения) может показать, что множество всех действительных чисел имеет тот же размер, что и множество всех действительных чисел от нуля до 1, и поэтому действительные числа, которые содержат натуральные числа, должны быть большим бесконечным множеством.
Технический термин для размера бесконечного множества — его «мощность». Диагональный аргумент показывает, что мощность действительных чисел больше мощности натуральных чисел. Мощность натуральных чисел записывается как $latex aleph_0$, произносится как «алеф ноль». В стандартном представлении математики это наименьший бесконечный кардинал.
Следующим бесконечным кардиналом является $latex aleph_1$ («алеф один»), и просто сформулированный вопрос сбивает с толку математиков уже более столетия: является ли $latex aleph_1$ кардинальностью действительных чисел? Другими словами, существуют ли другие бесконечност между натуральными числами и действительными числами? Кантор считал, что ответ — нет, — утверждение, которое стало известно как гипотеза континуума, — но он не смог ее доказать. В начале 1900-х годов этот вопрос считался настолько важным, что, когда Дэвид Гильберт составил свой знаменитый список из 23 важных открытых проблем в математике, гипотеза континуума была номером один.
Спустя сто лет был достигнут значительный прогресс, но этот прогресс привел к новым загадкам. В 1940 году известный логик Курт Гёдель доказал, что в соответствии с общепринятыми правилами теории множеств невозможно доказать существование бесконечности между натуральными числами и действительными числами. Это может показаться большим шагом к доказательству истинности гипотезы континуума, но два десятилетия спустя математик Пол Коэн доказал, что невозможно доказать, что такой бесконечности не существует! Оказывается, гипотезу континуума нельзя доказать ни тем, ни другим способом.
Вместе эти результаты установили «независимость» гипотезы континуума. Это означает, что общепринятые правила множеств просто не говорят достаточно, чтобы сказать нам, существует ли бесконечность между натуральными числами и действительными числами. Но вместо того, чтобы отговорить математиков от их стремления понять бесконечность, они повели их в новых направлениях. Математики теперь ищут новые фундаментальные правила для бесконечных множеств, которые могут как объяснить то, что уже известно о бесконечности, так и помочь заполнить пробелы.
Сказать «Моя любовь к тебе не зависит от аксиом» может быть не так весело, как сказать «Я люблю тебя до бесконечности плюс 1», но, возможно, это поможет следующему поколению математиков, любящих бесконечность, хорошо выспаться ночью.
Упражнения
1. Пусть $latex T = {1,3,5,7,…}$, множество положительных нечетных натуральных чисел. Является ли T больше, меньше или того же размера, что и ℕ, множество натуральных чисел?
2. Найдите однозначное соответствие между множеством натуральных чисел ℕ и множеством целых чисел $latexmathbb{Z}={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}$.
3. Найдите функцию $latex f(x)$, которая является биекцией между множеством действительных чисел от нуля до 1 и множеством действительных чисел больше нуля.
4. Найдите функцию, которая является биекцией между множеством действительных чисел от нуля до 1 и множеством всех действительных чисел.
Нажмите для ответа 1:
Тот же размер. Вы можете использовать функцию $latex f(x) = 2x+1$, чтобы превратить входы из ℕ в выходы в $latex T$, и это делает это способом, который является как сюръективным (на), так и инъективным (1-1). Эта функция является биекцией между ℕ и $latex T$, и поскольку биекция существует, множества имеют одинаковый размер.
Нажмите для ответа 2:
Один из способов — визуализировать список совпадающих пар, например так:
Вы также можете попробовать определить функцию, которая сопоставляет элементы. Эта функция, $latexf(n) =begin{cases}
frac{n+1}{2} &text{если $n$ нечетное} \
-frac{n}{2} &text{если $n$ четное}
end{cases}$
отображает ℕ на $latexmathbb{Z}$ и равно 1-1. Таким образом, существует столько же целых чисел, сколько и натуральных, еще один любопытный подвиг бесконечности.
Нажмите для ответа 3:
Существует много возможностей, но простая из них — $latex f(x) = frac{x}{1-x}$. Каждое положительное действительное число — это образ под $latex f(x)$ действительного числа от нуля до 1. Например, чтобы найти, какое число сочетается, скажем, с 102, просто установите $latex 102 = frac{x}{1-x}$ и решите относительно x:
$латекс 102 = frac{x}{1-x}$
$латекс 102(1-x) = x$
$латекс 102=103x$
$латекс x=frac{102}{103}$
Обратите внимание, что найденный нами x находится в диапазоне от нуля до 1, как и требуется. Таким образом, для любого числа, например 102, мы можем найти входные данные, которые будут отображены на него, что предполагает, что $latex f(x)$ является сюръективным. Один из способов увидеть, что $latex f(x)$ также является инъективным (1-1), — это построить его график и наблюдать, что он проходит тест горизонтальной линии: каждая горизонтальная линия в декартовой плоскости проходит через график $latex f(x)$ не более одного раза, что означает, что ни один выход не используется дважды.
Нажмите для ответа 4:
Как и в упражнении 3, есть несколько функций, которые могут работать, но стандартный подход заключается в использовании преобразования функции тангенса. Для области $latex -frac{π}{2} Вы можете изменить область определения этой функции с помощью преобразования. Например, мы можем сжать область определения с $latex -frac{π}{2} < x Источник: www.quantamagazine.org
