Амплитуэдр, фигура, лежащая в основе физики элементарных частиц, по-видимому, тесно связан с математикой складывания бумаги. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже
Введение
Амплитуэдр — геометрическая фигура с почти мистическим свойством: вычислите его объем, и вы получите ответ на центральный расчет в физике о том, как взаимодействуют частицы.
Молодой математик из Корнеллского университета Павел (Паша) Галашин обнаружил, что амплитуэдр также загадочным образом связан с другой, совершенно не связанной с ним дисциплиной: оригами, искусством складывания бумаги. В доказательстве, опубликованном в октябре 2024 года, он показал, что узоры, возникающие в оригами, можно преобразовать в набор точек, которые вместе образуют амплитуэдр. Каким-то образом складывание бумаги и столкновение частиц создают одну и ту же геометрическую фигуру.
«Паша и раньше проделал блестящую работу, связанную с амплитуэдром», — сказал Нима Аркани-Хамед, физик из Института перспективных исследований, который представил амплитуэдр в 2013 году вместе со своим тогдашним аспирантом Ярославом Трнкой. «Но для меня это уже нечто совершенно новое».
Используя эту новую связь с оригами, Галашин также смог разрешить открытую гипотезу об амплитуэдре, которую физики долгое время считали верной, но не могли строго доказать: что эту форму действительно можно разбить на более простые строительные блоки, соответствующие расчётам, которые хотят провести физики. Другими словами, части амплитуэдра действительно подходят друг к другу так, как и должно быть.
Результат не просто строит мост между двумя, казалось бы, разрозненными областями исследований. Галашин и другие математики уже исследуют, что ещё может дать им этот мост. Они используют его, чтобы лучше понять амплитуэдр и ответить на другие вопросы в гораздо более широком диапазоне ситуаций.
Взрывные вычисления
Физики хотят предсказать, что произойдёт при взаимодействии фундаментальных частиц. Допустим, сталкиваются две субатомные частицы, называемые глюонами. Они могут отскочить друг от друга, не изменившись, или превратиться в набор из четырёх глюонов, или сделать что-то совершенно иное. Каждый результат реализуется с определённой вероятностью, которая представлена математическим выражением, называемым амплитудой рассеяния.
В течение десятилетий физики рассчитывали амплитуды рассеяния одним из двух способов. Первый использовал диаграммы Фейнмана – волнистые линии, описывающие движение и взаимодействие частиц. Каждая диаграмма представляет собой математическое вычисление; суммируя вычисления, соответствующие различным диаграммам Фейнмана, можно вычислить заданную амплитуду рассеяния. Но по мере увеличения числа частиц в столкновении количество необходимых диаграмм Фейнмана резко возрастает. Ситуация быстро выходит из-под контроля: вычисление амплитуд рассеяния относительно простых событий может потребовать добавления тысяч или даже миллионов членов.
Второй метод, представленный в начале 2000-х годов, называется рекурсией Бритто-Качасо-Фенга-Виттена (BCFW). Он разбивает сложные взаимодействия частиц на более мелкие и простые взаимодействия, которые легче изучать. Вы можете вычислять амплитуды этих более простых взаимодействий и отслеживать их, используя наборы вершин и рёбер, называемые графами. Эти графы показывают, как сшить более простые взаимодействия, чтобы вычислить амплитуду рассеяния исходного столкновения.
Рекурсия БКФВ требует меньше работы, чем диаграммы Фейнмана. Вместо сложения миллионов членов, возможно, потребуется сложить лишь сотни. Но у обоих методов одна и та же проблема: окончательный ответ часто оказывается гораздо проще, чем сложные вычисления, необходимые для его получения, поскольку многие члены в итоге сокращаются.
Затем, в 2013 году, Аркани-Хамед и Трнка сделали удивительное открытие: сложная математика столкновений частиц на самом деле является замаскированной геометрией.
Сохранено геометрией
В начале 2000-х годов математик из Массачусетского технологического института Александр Постников изучал геометрический объект, известный как положительный грассманиан.
Положительный грассманиан, интерес к которому проявляют математики с 1930-х годов, построен весьма абстрактно. Сначала возьмём n-мерное пространство и рассмотрим все плоскости некоторой заданной, меньшей размерности, находящиеся внутри него. Например, внутри трёхмерного пространства, в котором мы живём, можно найти бесконечное множество плоских двумерных плоскостей, простирающихся во всех направлениях.
Каждая плоскость — по сути, срез большего n-мерного пространства — может быть задана массивом чисел, называемым матрицей. Из этой матрицы можно вычислить определённые значения, называемые минорами, которые отражают свойства плоскости.
Теперь рассмотрим только те плоскости в вашем пространстве, все миноры которых положительны. Совокупность всех таких особых «положительных» плоскостей даёт сложное геометрическое пространство — положительный грассманиан.
Чтобы понять богатую внутреннюю структуру положительного грассманиана, математики делят его на различные области, так что каждая область состоит из набора плоскостей, имеющих определённые закономерности. Постников, надеясь упростить эту задачу, придумал способ отслеживать различные области и их взаимодействие. Он изобрел то, что назвал плабическими (сокращение от «плоский двуцветный») графами — сетями чёрных и белых вершин, соединённых рёбрами, нарисованными так, чтобы ни одно ребро не пересекалось. Каждый плабический граф описывал одну область положительного грассманиана, предоставляя математикам визуальный язык для того, что иначе определялось бы плотными алгебраическими формулами.
Спустя почти десять лет после того, как Постников представил свои плабические графики, Аркани-Хамед и Трнка пытались рассчитать амплитуды рассеяния при столкновениях различных частиц. Разбираясь с формулами рекурсии BCFW, они заметили нечто необычное. Графики, которые они использовали для отслеживания своих вычислений, выглядели точь-в-точь как плабические графики Постникова. Заинтригованные, они поехали в Массачусетский технологический институт, чтобы встретиться с ним.
«За обедом мы сказали: «Странно, мы видим одно и то же», — вспоминает Аркани-Хамед.
Они были правы. Чтобы вычислить амплитуду рассеяния при столкновении n частиц, физикам пришлось бы сложить множество членов уравнения БКФВ, каждый из которых соответствовал бы области положительного грассманиана в n измерениях.
Аркани-Хамед и Трнка поняли, что эта геометрическая связь может упростить вычисление амплитуд рассеяния. Используя данные о столкновении частиц — например, их импульсы — они определили низкоразмерную тень положительного грассманиана. Полный объём этой тени оказался равен амплитуде рассеяния.
Так родился амплитуэдр.
Иллюстрация амплитуэдра, соответствующего столкновению частиц с участием восьми глюонов.
Это было только начало истории. Физики и математики хотели подтвердить, например, что те же самые плакоидные графы, которые определяют области положительного грассманиана, могут также определять части амплитуэдра — и что эти части не будут иметь зазоров или наложений, идеально совпадая друг с другом, охватывая точный объём фигуры. Эта надежда стала известна как гипотеза триангуляции: можно ли амплитуэдр аккуратно триангулировать, или подразделять, на более простые строительные блоки?
Доказательство этого укрепило бы точку зрения Аркани-Хамеда и Трнки: сложные формулы BCFW, которые вычисляют амплитуду рассеяния при столкновении частиц (хотя и неэффективно), можно понимать как сумму объемов строительных блоков амплитуэдра.
Это была непростая задача. Во-первых, с самого начала было ясно, что на самом деле существует два амплитуэдра. Первый был определён в координатах импульс-твистор — хитроумное математическое переименование, упростившее работу с формой, поскольку она естественным образом соотносилась с положительным грассманианом и плакическими графами Постникова. Математикам удалось доказать гипотезу триангуляции для этой версии амплитуэдра в 2021 году.
Другая версия, известная как амплитудоэдр импульса, определялась непосредственно через импульсы сталкивающихся частиц. Физикам больше нравилась эта вторая версия, поскольку она говорила на том же языке, что и реальные столкновения частиц и эксперименты по рассеянию. Но её также было сложнее описать математически. В результате гипотеза триангуляции оставалась полностью открытой.
Если бы триангуляция не дала результата для амплитудедра импульса, то это означало бы, что амплитудедр не является правильным способом осмысления формул БКФВ для вычисления амплитуд рассеяния.
Неопределенность сохранялась более десятилетия — до тех пор, пока изучение сгиба бумаги не начало подсказывать путь вперед.
В поисках Бигфута
Павел Галашин не ставил перед собой задачу изучать ни оригами, ни амплитуэдр. В 2018 году, будучи одним из аспирантов Постникова, он вместе с коллегой доказал интригующую связь между положительным грассманианом и моделью Изинга, которая используется для изучения поведения таких систем, как ферромагнетики. Теперь Галашин пытался понять знаменитое доказательство модели Изинга, в частности, доказательство её особых симметрий, в терминах положительного грассманиана.
Работая над доказательством — проектом, к которому он периодически возвращался в течение следующих нескольких лет, — Галашин наткнулся на пару интересных работ, в которых исследователи использовали другие виды диаграмм для облегчения понимания геометрии: схемы сгибов оригами. Это схемы линий, которые указывают, где нужно сложить бумагу, чтобы сделать, например, журавлика или лягушку.
Этот рисунок сгиба создаст фигуру лебедя.
Может показаться странным, что оригами здесь всплыло. Но с годами математика оригами оказалась на удивление глубокой. Задачи, связанные с оригами, — например, можно ли по заданному шаблону сгиба получить фигуру, которую можно сплющить, не разорвав, — сложны для решения с помощью вычислений. Кроме того, теперь известно, что оригами можно использовать для выполнения самых разных вычислений.
В 2023 году, исследуя роль оригами в работах по модели Изинга, Галашин наткнулся на вопрос, который привлек его внимание. Допустим, у вас есть информация только о внешней границе складки — границе листа, которую складки делят на различные отрезки. В частности, у вас есть информация только о том, как эти отрезки расположены в пространстве до и после складывания. Всегда ли можно найти полную схему складки, которая удовлетворяет этим ограничениям и создаёт фигуру оригами, которую можно правильно сплющить? Математики предполагали, что ответ — да, но никто не мог это доказать.
Галашин нашел эту гипотезу поразительной, поскольку в его обычной области исследований, которая занимается положительным грассманианом, изучение границы объекта является распространенным способом получения информации о нем.
Ярослав Трнка (слева) и Нима Аркани-Хамед представили амплитуэдр, чтобы упростить выполнение важных вычислений в физике элементарных частиц.
Но месяцами он не добился никакого прогресса. Затем он внезапно осознал: проблема не просто имела тот же оттенок, что и его собственная работа. Её можно было переписать на языке амплитуэдра. Причём импульсного амплитуэдра.
«Это заняло гораздо больше времени, чем я готов признать», — сказал он. «Не ожидаешь связи, поэтому никогда её не замечаешь. Бигфута на Манхэттене не предполагается».
Но сможет ли он это доказать?
Забудьте о квартире
Галашин рассмотрел столкновение с участием некоторого количества частиц и начал с границы в виде складки, разделенной на это количество линейных сегментов.
Он описал каждый отрезок вектором, состоящим из двух чисел. Затем он записал векторы, описывающие новые положения этих же отрезков после складывания. Эти векторы были определены на основе информации об импульсах частиц в интересующем его столкновении.
Затем для каждого сегмента он объединил векторы «до» и «после» в один четырёхмерный вектор. Перечислив числа во всех этих векторах как единый набор координат, Галашин смог определить точку в многомерном пространстве. И эта точка находилась не где-то в многомерном пространстве, а в амплитудоэдре импульса.
Галашин показал, что ответ на вопрос оригами о схемах сгибов при плоском складывании действительно был положительным, и что всякий раз, когда такую схему сгиба можно было найти для заданной границы, точка, закодированная этой границей, должна была находиться в амплитуэдре.
Это был совершенно новый взгляд на форму. «Самое удивительное для меня в работах Паши — это то, что эта связь с оригами даёт невероятно красивое определение амплитудного амплитуэдра одной линией», — сказал Аркани-Хамед.
Новая интерпретация Галашина, основанная на оригами, дала ему идею, как окончательно решить центральную загадку импульсного амплитуэдра. Он мог бы разрешить гипотезу о триангуляции, если бы смог показать, что каждая точка, полученная с помощью оригами, расположена не просто внутри амплитуэдра, а внутри совершенно определённой области — таким образом, чтобы области соединялись без зазоров и перекрытий.
Для этого он разработал алгоритм, который принимал в качестве входных данных шаблон границы и присваивал ему уникальный шаблон сгиба. Этот шаблон всегда подчинялся правилам, связывающим его с геометрией амплитуэдра: а именно, будучи сложенным, бумага всё равно могла распрямиться.
Затем Галашин представил схему сгиба в виде плазматического графа: сначала он рисовал точку в середине каждой области сгиба, окрашивая её в белый цвет, если эта область будет обращена вверх после сгибания бумаги, и в чёрный, если она будет обращена вниз. Затем он рисовал ребро между вершинами в областях, имеющих общую складку.
Ребра в этом плазматическом графе соединяют области, имеющие общую складку.
Наконец, он показал, что этот граф вырезает область амплитуэдра. Точка, закодированная границей этой складки, находится внутри этой области.
Этого было достаточно, чтобы решить проблему триангуляции. Если бы две области амплитуэдра перекрывались, то есть одна точка амплитуэдра находилась бы в двух разных областях, это было бы эквивалентно возможности сопоставить рисунок границы с двумя разными рисунками складок. Но Галашин разработал свой алгоритм так, чтобы он обеспечивал уникальное соответствие, поэтому это было невозможно. Аналогично, алгоритм также подразумевал отсутствие пробелов: каждую точку амплитуэдра можно было бы переписать как границу, и каждая граница, будучи заданной в качестве входных данных алгоритма, аккуратно попадала бы внутрь области.
Амплитуэдр подогнан идеально.
Новые мечты
Для математиков элегантность этого аргумента была поразительной.
«Связать две, казалось бы, несвязанные идеи всегда очень красиво», — сказала Лорен Уильямс, математик из Гарвардского университета. «Раньше я не задумывалась о сгибах в оригами, поэтому для меня стало неожиданностью увидеть их связь с амплитуэдром».
Галашин поделился своим удивлением. «У меня нет убедительного объяснения, почему границы оригами являются точками амплитуэдра», — сказал он. «Априори нет причин, по которым одно связано с другим». Но он надеется, что будущие исследования откроют более глубокую причину этой связи.
Он также надеется, что его результат поможет ему в достижении первоначальной цели: понять модели ферромагнетизма и родственных систем через призму положительного грассманиана. Возможно, использование оригами может помочь.
В более широком смысле, физики и математики хотят узнать, смогут ли они узнать больше об амплитуэдре и использовать его в более широком спектре теоретических расчётов столкновений частиц, рассматривая его в терминах оригами. Например, одна из целей — вычислить амплитуду рассеяния при столкновении частиц непосредственно из объёма амплитуэдра, не разбивая его на части. Возможно, дальнейшее изучение связи между узорами складок и столкновениями частиц поможет осуществить эту мечту.
«Как физик, я бы не додумался до этого и за миллион лет», — сказал Аркани-Хамед. «Но я считаю это впечатляющим результатом и хочу глубже вникнуть в него и посмотреть, что он нам даст».
Источник: www.quantamagazine.org
