Герд Фальтингс потряс математиков всего мира своим доказательством гипотезы Морделла, представленным в 1983 году, которое объединило, казалось бы, разрозненные области математики.
Герд Фальтингс стал лауреатом Абелевской премии 2026 года. Питер Бэдж/Опечатка1
Герд Фальтингс стал лауреатом Абелевской премии 2026 года, считающейся Нобелевской премией по математике, за новаторское доказательство, которое произвело фурор в математике в 1983 году. Его вклад помог заложить основы одной из важнейших областей современной математики — арифметической геометрии.
Главным достижением Фалтингса, который также получил престижную Филдсовскую премию в 1986 году за ту же работу, стало доказательство гипотезы Морделла — давней теоремы, впервые предложенной Луисом Морделлом в 1922 году, которая утверждает, что все более сложные уравнения приводят к уменьшению числа решений.
Фалтингс, работающий в Институте математики им. Макса Планка в Германии, говорит, что был «польщен», узнав об этом, но сдержанно оценивал влияние своих достижений. «Кто-то сказал, что восхождение на Эверест произошло потому, что он там есть и представляет собой проблему», — говорит Фалтингс. «Я решил [гипотезу Морделла], но в конечном итоге это не позволяет нам вылечить рак или болезнь Альцгеймера, это просто расширяет наши знания о различных вещах».
Гипотеза Морделла касается диофантовых уравнений — обширной категории, включающей такие известные уравнения, как a² + b² = c² из теоремы Пифагора и aⁿ + bⁿ = cⁿ, лежащее в основе знаменитой последней теоремы Ферма. Морделл хотел понять, какие из этих диофантовых уравнений в их более общей форме имеют бесконечное множество решений, а какие — лишь конечное.
Если переписать эти уравнения с использованием комплексных чисел, своего рода двумерных чисел, а затем изобразить их в виде поверхностей, таких как сферы или пончики, то Морделл пришел к выводу, что именно количество отверстий на поверхности определяет количество существующих решений. Морделл интуитивно предположил, что для поверхностей, имеющих больше отверстий, чем пончик, будет существовать лишь конечное число рациональных решений, то есть решений, использующих либо целые числа, либо дроби, но доказать это он не смог.
Когда Фалтингс наконец доказал предположение Морделла спустя более шести десятилетий, это удивило математиков не только результатом, но и тем, как он это сделал. Его доказательство объединило идеи из, казалось бы, совершенно разных математических дисциплин, таких как геометрия и арифметика. «Это очень коротко, это как чудо», — говорит Акшай Венкатеш из Института перспективных исследований в Принстоне. «Это статья всего на 18 страниц, и она искусно перескакивает между различными методами и различными интуитивными представлениями».
Фалтингс объясняет свой успех умением спокойно относиться к неопределенности и рисковать, воплощая идеи, которые могут быть не доказаны, но которые, по его мнению, могут сработать. «Иногда я опережаю тех, кто пытается все доказать сразу, но иногда и ошибаюсь», — говорит Фалтингс.
«Одна из впечатляющих особенностей его аргументации заключается в том, что она охватывает очень многое, и все части должны сложиться воедино», — говорит Венкатеш. «Возникает вопрос: откуда у него хватило смелости взяться за это, не зная заранее, как все эти части согласуются друг с другом?»
Почему математики хотят уничтожить бесконечность — и, возможно, им это удастся.
Математики, называющие себя ультрафинитистами, считают, что чрезвычайно большие числа сдерживают развитие науки, от логики до космологии, и у них есть радикальный план, как это исправить.
Многие из гипотез, которые Фалтингс разрешил, и инструменты, которые он разработал в рамках своего доказательства Морделла, легли в основу некоторых из крупнейших областей современных математических исследований, таких как p-адическая теория Ходжа, которая исследует связи между кривыми фигуры и ее структурой, но с использованием числовых систем, совершенно отличных от нашей. Он также оказал непосредственное влияние на знаковые разработки в современной математике , такие как подготовка к доказательству Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлзом и наставничество над Синъити Мочизуки, японским математиком, который, как ни странно, утверждает, что доказал гипотезу abc.
Фалтингс говорит, что не планировал заниматься проблемами столь масштабного масштаба. «Моя идея заключалась в том, чтобы не думать о том, что может сделать меня знаменитым и богатым, а стараться находить то, что мне нравится», — говорит Фалтингс. «Потому что, если ты работаешь над тем, что тебе нравится, это гораздо интереснее».
Темы:
- математика /
- математика
Реклама
Подпишитесь на нашу еженедельную рассылку.
Зарегистрироваться
Источник: www.newscientist.com
