Математический дуэт отображает бесконечную территорию минимальных поверхностей

Двое математиков, опираясь на малоизвестную математическую теорию 30-летней давности, показали, что минимальные поверхности, подобные мыльной плёнке, встречаются в изобилии и имеют широкий спектр форм. Сохранить статью Прочитать позже

Введение

В последние месяцы 2011 года Брайан Уайт время от времени слышал стук в дверь своего кабинета в Стэнфордском университете. Снаружи его ждали два молодых математика, Фернандо Кода Маркес и Андре Невес, и всегда с одним и тем же каверзным вопросом: не нашлось ли у Уайта нескольких минут, чтобы помочь им разобраться в какой-нибудь запутанной части малоизвестной докторской диссертации объёмом в несколько сотен страниц, написанной три десятилетия назад?

В диссертации Джона Питтса был представлен мощный аппарат для построения минимальных поверхностей — структур, подобных мыльным плёнкам и пузырям, — самых разнообразных форм. Минимальные поверхности, когда их удаётся построить, предоставляют возможность изучать геометрию окружающего пространства и используются в различных научных областях, от изучения чёрных дыр до проектирования биомолекул.

Однако с годами диссертация Питтса исчезла из виду, возможно, потому, что читать её было невероятно сложно. Маркес и Невес были уверены, что она полна неиспользованного потенциала. «Нам было очевидно, что эта теория была совершенно недооценена и осталась совершенно незамеченной», — сказал Невес, ныне профессор Чикагского университета.

Хотя Уайт никогда не спрашивал, почему их заинтересовала работа Питтса, они, по словам Невеса, каждый раз были готовы заявить, что это «просто академический интерес». Но у них была конкретная цель — доказательство гипотезы Уиллмора, 50-летней проблемы поиска, в некотором смысле, наилучшей возможной формы пончика (подробнее об этом позже). После трёх месяцев размышлений над идеями диссертации Питтса Маркес и Невес достигли своей цели, заслужив множество наград и похвал.

Но за последние несколько лет им удалось продвинуть идеи Питтса гораздо дальше. Питтс и его научный руководитель Фредерик Альмгрен нашли способ гарантировать, что каждая низкоразмерная фигура содержит хотя бы одну минимальную поверхность. Теперь Маркес и Невес, вместе с группой молодых математиков, образовавшейся вокруг них, развили идеи Альмгрена и Питтса, чтобы показать, что в общем случае эти фигуры должны содержать множество минимальных поверхностей — бесконечное множество, теснящихся и нагромождающихся в каждом углу фигуры. «Это большой прорыв», — написала в электронном письме выдающийся геометр Карен Уленбек из Техасского университета в Остине.

«Построение одной-единственной [минимальной поверхности] потребовало огромных усилий», — сказал Ричард Шён из Калифорнийского университета в Ирвайне, который был научным руководителем Невеса почти 15 лет назад. «То, что их существует в таком изобилии, — поистине поразительный факт».

Возрождение теории Альмгрена и Питтса привело к взрывному росту активности в последние год-два. «Результаты появляются так часто и быстро, что за ними сложно уследить», — сказал Уайт. «Для меня это очень волнующе и замечательно».

Картографирование горного хребта

Окуните изогнутую проволочную рамку в мыльный раствор или выдуйте мыльный пузырь, и жидкость быстро образует поверхность минимально возможной площади. Геометрия этих «минимальных» поверхностей занимала математиков сотни лет и находит применение в самых разных областях: от архитектуры, где она вдохновляет проектирование крыш и других конструкций, до создания микрочастиц для доставки лекарств. Например, пять лет назад, когда группа учёных создала пористые молекулы, способные удерживать лекарства или гормоны, они обнаружили, что некоторые из молекул приобретают структуру, подобную гироиду – бесконечно повторяющейся поверхности, которая на каждом небольшом участке выглядит как кусочек мыльной плёнки.

Технически, математики считают минимальными поверхностями только каркасные мыльные пленки, а не мыльные пузыри, поскольку в абстрактном пространстве без молекул воздуха мыльный пузырь схлопнется в одну точку. Но даже мыльная пленка на проволоке не вполне удовлетворяет математиков. Внутренняя часть образует красивую поверхность, но проволочный каркас действует как резкий знак препинания. Естественно задаться вопросом, имея такую поверхность, можно ли ее продолжить за границу проволоки и по-прежнему выглядеть как мыльная пленка на каждом маленьком участке. Иногда это возможно, и поверхность будет простираться до бесконечности. В других случаях поверхность вернется к исходному положению и неловко пересечет сама себя или столкнется с другими трудностями.

Закрывать

В обычном пространстве это единственные возможности. Но математикам и учёным часто приходится рассматривать иные типы миров, помимо привычного нам бесконечного трёхмерного пространства — миры искривлённые или имеющие конечные размеры, например, трёхмерные аналоги сферы или поверхности бублика. Внутри этих форм возникает новая, интригующая возможность: минимальные поверхности, которые изгибаются сами на себя и замыкаются в законченную, конечную форму, не требующую проволочной поддержки.

В теории относительности эти конечные минимальные поверхности выступают в качестве горизонтов событий чёрных дыр. И когда их удаётся обнаружить внутри какой-либо фигуры, они помогают математикам понять её геометрию различными способами: они служат шаблоном для разрезания фигуры (или «многообразия») на потенциально более простые части и указывают на области положительной кривизны внутри многообразия — области, которые изгибаются внутрь, подобно сфере или чёрной дыре, а не расширяются наружу.

«Мы не так уж много знаем о многообразиях положительной кривизны», — сказал Шён.

Но доказать существование конечных минимальных поверхностей внутри фигуры часто бывает непросто. Чтобы понять, почему, рассмотрим двумерную версию этой задачи. Вопрос о нахождении минимальных поверхностей имеет смысл в любом измерении: математики просто считают «поверхностью» фигуру, размерность которой на единицу меньше размерности пространства, в котором она находится. Таким образом, в двумерном мире минимальные поверхности представляют собой «геодезические» кривые, построенные по кратчайшим путям между соседними точками.

Для некоторых двумерных фигур легко найти геодезические линии, замыкающиеся в конечную петлю. Возьмём, например, поверхность бублика — даже не обязательно симметричного, скруглённого, но с выступами и неровностями. Если бы мы обернули бублик резинкой, пропустив её через центральное отверстие, мы могли бы представить, как туго натягиваем её, а затем скользим по поверхности во всех возможных положениях. Одна из этих конфигураций должна быть самой короткой, и это должна быть геодезическая линия, поскольку в противном случае мы могли бы укоротить её ещё больше.

Но если наша форма — сфера, а не пончик, этот подход не работает. На идеально круглой сфере геодезические линии легко определить: это экватор и другие «большие окружности». Но на неровной сфере, такой как поверхность Земли, неясно, куда идут геодезические линии и замыкаются ли они в конечную петлю. Можно представить, что Земля обматывается резинкой, как мы это делали с пончиком. Но если вы будете двигать его, пытаясь укоротить, он сожмётся в одну точку, поскольку, в отличие от пончика, у сферы нет отверстия, за которое резинка могла бы зацепиться.

Однако эта неудача с резинкой на самом деле закладывает основу для успеха. Если представить себе резинку, лежащую на экваторе круглой сферы, то один способ её перемещения — придание ей изгибов — сделает её длиннее. Другой способ перемещения — вертикальное перемещение вверх или вниз на новую широту — сделает её короче. Таким образом, экватор — самая короткая кривая с одной точки зрения и самая длинная с другой.

Это делает экватор аналогом седловой точки на вершине горного перевала, которая является наивысшей точкой в одном направлении (маршрут через перевал) и низшей точкой в другом направлении (маршрут к окружающим вершинам). Это не просто расплывчатая аналогия: как правило, минимальные поверхности действительно являются седловыми точками, но их горный хребет живёт в мире, гораздо более сложном для визуализации, чем наш обычный.

Когда мы ищем минимальные поверхности внутри фигуры, мы можем рассмотреть новый мир, состоящий из всех возможных конечных поверхностей, существующих в этой фигуре, — назовём этот мир «пространством поверхностей». Каждая точка в пространстве поверхностей соответствует всей поверхности исходной фигуры. Далее, мы можем рассматривать площадь каждой поверхности как определение высоты соответствующей ей точки в пространстве поверхностей, так что наш новый мир имеет естественный рельеф. Поиск минимальных поверхностей в исходной фигуре превращается в поиск седловых точек в пространстве поверхностей.

В 1917 году Джордж Биркгоф использовал этот подход, чтобы показать, что любая сфера, будь то шероховатая или круглая, должна иметь по крайней мере одну замкнутую геодезическую. А примерно шесть десятилетий спустя, в изобретательном расширении идей Биркгофа, Альмгрен и Питтс нарисовали топографию поверхностного пространства для всех конечных фигур размерности от трёх до семи, а затем использовали эту топографию, чтобы доказать, что такие фигуры всегда имеют по крайней мере одну замкнутую минимальную поверхность. Диссертация Питтса 1981 года по этой теории «минмакса» — названной так потому, что седловая точка является одновременно и минимумом, и максимумом — была «абсолютно выдающейся», сказал Невес.

Но это было также чрезвычайно сложно. Мало кто понимал тонкости этой теории, и некоторые изучавшие её математики делали заявления, которые так и не были полностью подтверждены, сказал Шён. «Не думаю, что когда-либо были какие-либо сомнения в её чрезвычайном интересе и важности», — сказал он. Но «было неясно, насколько она была абсолютно строгой».

Работа над теорией минимакса постепенно сошла на нет. «Работа [Питтса] была забыта математическим сообществом, наверное, лет на 30», — сказал Невес. Она возродилась лишь после встречи Невеса и Маркеса в 2006 году в лифте Файн-холла, математического корпуса Принстонского университета.

Через горный перевал

В то время Маркес приехал в Принстон, чтобы выступить с докладом; Невеш недавно начал там постдокторскую работу. Оба были носителями португальского языка (Маркес из Бразилии, а Невеш из Португалии), поэтому они легко нашли общий язык. «Я разговаривал с ним впервые, но он говорил со мной так, будто мы дружим уже десять лет», — вспоминает Маркес, ныне профессор Принстона.

И они обнаружили, что обсуждение математики вместе проходило так же естественно. У них был разный стиль: Маркес терпеливый, Невес более настойчивый. Но это, пожалуй, было плюсом. «Я бы сказал, очень редко встретишь человека, который так сильно тебя дополняет», — сказал Маркес.

Оба жаждали найти математическую задачу, в которую могли бы по-настоящему погрузиться. Несколько лет они обменивались идеями при каждой встрече, «чтобы посмотреть, что приживётся», — сказал Невес. «У нас рождались миллионы идей, но в конце концов одна из них просто просачивалась и воплощалась в нечто законченное».

Главной проблемой, которая в конечном итоге была решена, стала знаменитая задача, известная как гипотеза Уиллмора. Она требует найти форму пончика, минимизирующую величину, называемую энергией Уиллмора, которая, грубо говоря, измеряет, насколько форма пончика отличается от круглой сферы. В 1965 году Уиллмор выдвинул гипотезу, что самый круглый пончик — это строго симметричная форма, называемая тором Клиффорда, но никто не смог это доказать, несмотря на многочисленные попытки.

Маркес и Невес разработали многообещающий подход, но для его реализации им требовался последний ингредиент: теория минимакса. Они решили, что освоение теории и последующее написание статьи займут две-три недели, пока не открыли книгу Питтса. «Мы были в шоке: что это такое?» — сказал Невес. «Это невероятно сухая книга».

Отдельные теоремы занимали целые страницы — и это только формулировка теоремы, не говоря уже о её доказательстве. Было трудно даже найти основную теорему. «Помню, как однажды Фернандо пришёл ко мне в кабинет и сказал: „Я нашёл формулировку теоремы!“» — сказал Невес.

Застревая, они делали непроницаемые лица и просили помощи у Уайта, одного из немногих, кто понимал большую часть работы Питтса (хотя сам Уайт характеризует эти дискуссии как «слепой ведёт слепого»; сам Питтс, профессор Техасского университета A&M в Колледж-Стейшен, перестал писать статьи по теории минмакса несколько десятилетий назад). «Мы были невероятно мотивированы, и поэтому смогли прорваться», — вспоминал Невес. «Но это не для слабонервных».

К тому времени, как Маркес и Невес завершили доказательство гипотезы Уиллмора, они, пожалуй, понимали теорию минимакса лучше, чем кто-либо другой из математиков. Они были убеждены, что её потенциал простирается гораздо дальше гипотезы Уиллмора. «Мы знали, что у нас есть эта невероятно мощная теория», — сказал Невес. «Каждый раз, когда вы используете метод и можете доказать результат, который был открыт уже давно, это говорит вам, что в нём что-то есть. Это говорит вам, что стоит продолжать и продолжать работать над ним».

Минмакс-машина Альмгрена и Питтса генерирует не одну седловую точку, а бесконечный список таких точек. Теоретически это должно соответствовать бесконечному списку минимальных поверхностей исходной формы. Однако Альмгрену и Питтсу не удалось показать, что все минимальные поверхности, полученные таким образом, являются различными. Поэтому максимум, к чему они смогли прийти, – это то, что исходная форма имела по крайней мере одну минимальную поверхность.

После этого «тема практически замерла», — сказал Невес. «Это был лучший результат за более чем 30 лет».

Нужен был какой-то новый ингредиент, и Маркес и Невес его нашли. Бесконечный список минмакс-поверхностей, как они показали в 2016 году, ведёт себя — определённым образом — подобно частотам барабана.

Математик Герман Вейль в 1911 году показал, что основные частоты барабана обладают удивительным свойством: грубо говоря, высокие частоты зависят только от объёма барабана, а не от его формы. Маркес и Невес, совместно с Евгением Лиокумовичем из Массачусетского технологического института, показали, что минимаксные поверхности удовлетворяют математическому закону, аналогичному закону для частот барабана. В частности, площади поверхностей (особенно тех, что находятся дальше в списке) приблизительно определяются объёмом пространства, в котором они находятся, но не его формой.

Этот результат, положивший конец давней гипотезе, позволил Маркесу и Невесу в 2017 году показать — на этот раз в сотрудничестве с Кей Ирие из Токийского университета — что для большинства фигур список минимакса содержит бесконечное множество различных минимальных поверхностей. Более того, они показали, что эти поверхности «плотны»: они встречаются вблизи каждой точки окружающего пространства. Интуиция, лежащая в основе этого вывода, заключается в том, что для того, чтобы объём пространства определял площади минимальных поверхностей, эти поверхности должны каким-то образом «видеть» весь объём. Это «предполагает, что эти поверхности присутствуют повсюду в многообразии», — сказал Маркес.

А пару месяцев спустя эта пара в сотрудничестве с аспирантом Маркеса Антуаном Сонгом показала, что по мере продвижения по списку поверхностей минмакс эти поверхности имеют тенденцию равномерно заполнять пространство — математики называют это «равнораспределением».

«Когда я услышал результат о том, что они распределены равномерно, я был поражён, — сказал Уайт. — Это казалось намного выше того, что люди могли бы доказать за мою жизнь».

За последние пару лет к делу подключились и другие математики. Например, в январе Синь Чжоу из Калифорнийского университета в Санта-Барбаре, опираясь на предыдущую работу Маркеса и Невеса, доказал, что для большинства фигур каждая минимальная поверхность из списка Альмгрена и Питтса различна, тем самым положив удовлетворительный конец этому вопросу. «Это действительно удачное завершение вопроса, который оставался открытым со времён дела Альмгрена и Питтса в 80-х», — сказал Уайт.

Это семейство результатов охватывает практически все формы размерности от трёх до семи — все, кроме самых округлых форм, что, как ни странно, противоречит здравому смыслу. Но в июне прошлого года Сонгу удалось доказать, что каждая форма в этих измерениях, включая самые округлые, имеет бесконечное множество замкнутых минимальных поверхностей, тем самым опровергнув ещё одну давнюю гипотезу.

Остаётся выяснить, будут ли принципы плотности и равномерного распределения применимы и к этой более широкой области, а также какие части теории минимакса применимы к многообразиям, не являющимся компактными, и к многообразиям размерностью восемь и выше (где, похоже, уже достигнут определённый прогресс в новой работе). Математики предсказывают, что ответы на многие из этих вопросов, вероятно, будут получены рано или поздно.

«Дело идёт невероятно быстро», — сказал Невес. «Каждую неделю я захожу на [сайт научных препринтов] arxiv, и кто-то только что решил что-то новое».

С одной стороны, этот цикл работ знаменует собой конец — или почти конец — истории, которая оставалась незавершённой почти четыре десятилетия. Но это также и новое начало: математики только начинают понимать, что эти новые знания о минимальных поверхностях могут рассказать нам о пространствах, в которых они существуют.

«Я предполагаю, что появятся и другие интересные приложения, но пока не могу сказать, какие именно», — сказал Шён. «Уверен, это станет одним из основных направлений в геометрии».

Примечание редактора: Андре Невес был назначен следователем фонда Саймонса в 2018 году. Фонд Саймонса также финансирует этот редакционно независимый журнал.

Источник: www.quantamagazine.org