Физики выявили алгебраическую структуру, лежащую в основе сложной математики столкновений частиц. Некоторые надеются, что это приведёт к более элегантной теории природы. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже
Введение
Когда физики-теоретики пытаются моделировать эксперименты, они сталкиваются с невозможным вычислением — бесконечно длинным уравнением, которое находится за пределами возможностей современной математики.
К счастью, они могут генерировать в значительной степени точные прогнозы, не разбираясь в этой сложной математике. Сокращая вычисления, учёные на Большом адронном коллайдере ЦЕРН в Европе составляют прогнозы, которые соответствуют событиям, которые они действительно наблюдают, запуская субатомные частицы навстречу друг другу по траектории длиной почти 27 километров.
К сожалению, эпоха согласованности между прогнозами и наблюдениями, возможно, подходит к концу. По мере повышения точности измерений аппроксимационные схемы, используемые теоретиками для прогнозирования, могут перестать соответствовать требованиям.
«Мы приближаемся к исчерпанию всех наших возможностей», — сказал Клод Дур , физик-теоретик из ЦЕРНа.
Однако три недавние работы группы физиков под руководством Пьерпаоло Мастролиа из Падуанского университета (Италия) и Себастьяна Мизеры из Института перспективных исследований в Принстоне (штат Нью-Джерси) раскрыли фундаментальную математическую структуру этих уравнений. Эта структура открывает новый способ сведения бесконечных членов к десяткам необходимых компонентов. Их метод может способствовать достижению новых уровней точности предсказаний, которые крайне необходимы теоретикам, стремящимся выйти за рамки ведущей, но несовершенной модели физики элементарных частиц.
«Они предоставили множество результатов, подтверждающих концепцию, которые показывают, что это очень многообещающая технология», — сказал Дур.
Улучшение прогнозов может принести большую выгоду.
Новый метод обходит традиционную математическую рутину, напрямую вычисляя «номера пересечений», что, как некоторые надеются, в конечном итоге может привести к более элегантному описанию субатомного мира.
«Это не просто математика», — сказал Саймон Карон-Хуот из Университета Макгилла, квантовый теоретик, изучающий значение работы Мастролии и Мизеры. «Это нечто, глубоко укоренённое в квантовой теории поля».
Бесконечный цикл
Когда физики моделируют столкновения частиц, они используют инструмент, называемый диаграммой Фейнмана, — простую схему, изобретенную Ричардом Фейнманом в 1940-х годах.
Чтобы понять эти диаграммы, рассмотрим простое событие с частицей: два кварка сталкиваются, обмениваются одним глюоном при «столкновении», а затем разлетаются по своим отдельным траекториям.
На диаграмме Фейнмана траектории кварков представлены «ногами», которые соединяются, образуя «вершины» при взаимодействии частиц. Фейнман разработал правила, позволяющие превратить эту картинку в уравнение, вычисляющее вероятность того, что событие действительно произойдёт: вы записываете определённую функцию для каждой ноги и вершины — обычно дробь, содержащую массу и импульс частицы, — и перемножаете все значения. В простых сценариях, подобных этому, вычисление поместилось бы на коктейльной салфетке.
Но золотое правило квантовой теории — рассматривать все возможности, и обмен простым глюоном — лишь один из множества сценариев, которые могут развернуться при столкновении двух кварков. Обмененный глюон может, например, на мгновение расщепиться на «виртуальную» пару кварков, прежде чем мгновенно восстановиться. Два кварка входят и два кварка выходят, но в процессе может произойти многое. Полный расчёт, подразумевающий идеальное предсказание, потребовал бы бесконечного количества диаграмм. Никто не ожидает совершенства, но ключ к повышению точности расчёта — это дальнейшее продвижение по бесконечной цепочке событий.
И вот тут-то физики и застряли.
Приближение к этому скрытому центру затрагивает виртуальные частицы — квантовые флуктуации, которые тонко влияют на исход каждого взаимодействия. Мимолетное существование пары кварков, представленной выше, как и многие виртуальные события, представлено диаграммой Фейнмана с замкнутой «петлей». Петли сбивают физиков с толку — они словно чёрные ящики, добавляющие дополнительные уровни бесконечных сценариев. Чтобы оценить возможности, подразумеваемые петлей, теоретикам приходится прибегать к операции суммирования, известной как интеграл. Эти интегралы принимают чудовищные размеры в многопетлевых диаграммах Фейнмана, которые вступают в действие по мере того, как исследователи продвигаются по линии и включают в неё более сложные виртуальные взаимодействия.
У физиков есть алгоритмы для вычисления вероятностей сценариев с одним контуром и без контура, но множество столкновений с двумя контурами ставят компьютеры на колени. Это накладывает ограничения на точность предсказаний — и на то, насколько хорошо физики могут понимать квантовую теорию.
Нажимая кнопку просмотра этого видео, вы соглашаетесь с нашей политикой конфиденциальности.Видео : Физик Ричард Фейнман разработал систему линейных рисунков, которая упростила расчеты взаимодействий частиц и помогла спасти область квантовой электродинамики.
Но есть одно маленькое утешение: физикам не нужно вычислять каждый последний интеграл в сложной диаграмме Фейнмана, потому что подавляющее большинство можно объединить.
Тысячи интегралов можно свести к десяткам «главных интегралов», которые взвешиваются и суммируются. Но определение того, какие именно интегралы можно включить в состав каких главных интегралов, само по себе является сложной вычислительной задачей. Исследователи используют компьютеры, чтобы, по сути, угадывать миллионы соотношений и кропотливо извлекать нужные комбинации интегралов.
Однако с помощью чисел пересечения физики, возможно, нашли способ элегантно извлечь необходимую информацию из обширного вычисления интегралов Фейнмана.
Геометрический отпечаток пальца
Работа Мастролии и Мизеры основана на разделе чистой математики, называемом алгебраической топологией, который классифицирует фигуры и пространства. Математики используют для этой классификации теории когомологий, позволяющие им извлекать алгебраические отпечатки из сложных геометрических пространств.
«Это своего рода резюме, алгебраический гаджет, который включает в себя суть пространства, которое вы хотите изучить», — сказал Клеман Дюпон, математик из Университета Монпелье во Франции.
Диаграммы Фейнмана можно преобразовать в геометрические пространства, поддающиеся когомологическому анализу. Каждая точка в этих пространствах может представлять один из множества возможных сценариев столкновения двух частиц.
Можно наивно надеяться, что, взяв когомологии этого пространства — определив его алгебраическую структуру — можно будет вычислить веса для основных интегралов, которые его поддерживают. Но геометрическое пространство, характеризующее большинство диаграмм Фейнмана, искривлено таким образом, что многие когомологические вычисления не поддаются вычислению.
В 2017 году Мизера, пытаясь проанализировать столкновение объектов в теории струн, наткнулся на инструменты, впервые разработанные Израилем Гельфандом и Казухико Аомото в 1970-х и 1980-х годах, когда они работали с когомологиями, называемыми «скрученными когомологиями». Позже в том же году Мизера познакомился с Мастролией, который понял, что эти методы могут работать и для диаграмм Фейнмана. В прошлом году они опубликовали три статьи, в которых эта теория когомологий использовалась для упрощения вычислений, связанных со столкновениями простых частиц.
Их метод берёт семейство связанных физических сценариев, представляет его как геометрическое пространство и вычисляет скрученные когомологии этого пространства. «Эти скрученные когомологии могут многое сказать об интересующих нас интегралах», — сказал Мизера.
В частности, скрученная когомология подсказывает им, сколько мастер-интегралов следует ожидать и какими должны быть их веса. Веса представляют собой значения, которые они называют «числами пересечения». В конечном итоге тысячи интегралов сводятся к взвешенной сумме десятков мастер-интегралов.
Теории когомологий, которые генерируют эти числа пересечений, могут не только облегчить вычислительную нагрузку — они также могут указать на физическое значение наиболее важных величин в вычислениях.
Например, когда виртуальный глюон распадается на два виртуальных кварка, возможное время жизни кварков может варьироваться. В соответствующем геометрическом пространстве каждая точка может соответствовать разному времени жизни кварка. Когда исследователи вычисляют веса, они обнаруживают, что сценарии с наиболее долгоживущими виртуальными частицами, то есть случаи, когда частицы становятся по сути реальными, оказывают наибольшее влияние на результат.
«В этом и заключается удивительная особенность этого метода, — сказал Карон-Хуот. — Он восстанавливает всё, начиная с этих редких, особенных событий».
На прошлой неделе Мизера, Мастролия и их коллеги опубликовали ещё один препринт, показывающий, что этот метод достаточно развит для работы с реальными двухконтурными диаграммами. В готовящейся к публикации статье Карон-Хуот этот метод будет развит ещё дальше, возможно, даже с трёхконтурными диаграммами.
В случае успеха эта методика может способствовать появлению следующего поколения теоретических предсказаний. И, как предполагают некоторые исследователи, она может даже предвещать новый взгляд на реальность.
Источник: www.quantamagazine.org
