Мастер чисел и геометрических фигур, переписывающий арифметику.

30-летний математический гений Питер Шольце теперь является одним из самых молодых лауреатов Филдсовской премии за «революцию, которую он совершил в арифметике и геометрии». Комментарий Сохранить статью Прочитать позже

Введение

В преддверии вручения Филдсовской премии — высшей награды в математике — имена лауреатов всегда держатся в строжайшей тайне. Но на этот раз у всех на устах было одно имя: Петер Шольце из Боннского университета в Германии.

Сегодня эти ожидания оправдались. 30-летний Шольце был награжден медалью на Международном конгрессе математиков в Рио-де-Жанейро, став одним из самых молодых лауреатов Филдсовской премии за всю историю. В награде отмечается «революция, которую он совершил в арифметической геометрии», науке об изучении форм, возникающих из рациональных решений полиномиальных уравнений (таких как xy³ + x² = 1 или x² – y³z = 3).

«Предложенные им теории и концепции действительно изменили облик этой области», — сказал Михаэль Рапопорт из Боннского университета, научный руководитель Шольце, который сегодня позже выступит с хвалебной лекцией о работе Шольце.

В интервью журналу Quanta Magazine два года назад Шольце сказал, что, несмотря на его многочисленные достижения, его работа до сих пор ощущалась не столько как исследование, сколько как попытка узнать, что сделали другие математики, и переформулировать это своими словами. Даже сейчас, по его словам, «значительная часть моей работы заключается в попытке узнать, что уже существует».

Но в последние несколько лет он занялся новым направлением работы, которое, по его словам, «действительно похоже на исследование». Оно касается когомологии — способа изучения отверстий в геометрической фигуре. Существует множество различных версий когомологии, но в последнее время Шольце вместе с Бхаргавом Бхаттом из Мичиганского университета разрабатывает единую теорию, называемую призматической когомологией, которая рассматривает эти различные когомологии, по сути, как полосы света в когомологической радуге. «Для меня это было чем-то действительно новым», — сказал Шольце.

Не все лауреаты Филдсовской премии продолжают проводить исследования того же уровня, что и те, за которые они получили награду, но Рапопорт уверен, что Шольце это удастся. «У него еще много идей, которые он должен воплотить в жизнь», — сказал Рапопорт. «Я думаю, что на самом деле это начало очень плодотворной эпохи для моей области».

В свете сегодняшнего объявления компания Quanta переиздает свою статью о Шольце от 28 июня 2016 года:

Оракул арифметики

В свои 28 лет Питер Шольце раскрывает глубокие связи между теорией чисел и геометрией.

В 2010 году в сообществе исследователей теории чисел распространился поразительный слух, дошедший до Джареда Вайнштейна. Оказывается, какой-то аспирант Боннского университета в Германии написал статью, в которой переработал «Доказательство Харриса-Тейлора» — 288-страничную книгу, посвященную единственному непонятному доказательству в теории чисел, — всего на 37 страницах. 22-летний студент, Питер Шольце, нашел способ обойти одну из самых сложных частей доказательства, которая касается всеобъемлющей связи между теорией чисел и геометрией.

«Для столь молодого человека это было просто поразительно — совершить нечто настолько революционное, — сказал Вайнштейн, 34-летний теоретик чисел, ныне работающий в Бостонском университете. — Это невероятно трогательно».

Математики Боннского университета, которые всего два года спустя сделали Шольце профессором, уже знали о его выдающемся математическом уме. После публикации его работы по теории чисел и геометрии, Шольце также стал привлекать к себе внимание специалистов в области теории чисел и геометрии.

С тех пор Шольце, которому сейчас 28 лет, добился значительного признания в широком математическом сообществе. В наградных документах его называют «уже одним из самых влиятельных математиков в мире» и «редким талантом, который проявляется лишь раз в несколько десятилетий». О нем говорят как о главном фаворите на получение Филдсовской премии, одной из высших наград в математике.

Ключевое нововведение Шольце — класс фрактальных структур, которые он называет перфектоидными пространствами, — появилось всего несколько лет назад, но уже имеет далеко идущие последствия в области арифметической геометрии, где теория чисел и геометрия пересекаются. Работа Шольце обладает прозорливостью, сказал Вайнштейн. «Он может предвидеть развитие событий еще до того, как оно начнется».

Многие математики реагируют на работы Шольце «со смесью благоговения, страха и восторга», — сказал Бхаргав Бхатт, математик из Мичиганского университета, который написал совместные статьи с Шольце.

Это не связано с его характером, который коллеги единодушно описывают как уравновешенный и великодушный. «Он никогда не дает почувствовать, что он, ну, каким-то образом намного выше тебя», — сказал Эуген Хеллманн, коллега Шольце из Боннского университета.

На самом деле, дело в его поразительной способности проникать глубоко в природу математических явлений. В отличие от многих математиков, он часто начинает не с конкретной проблемы, которую хочет решить, а с какой-то неуловимой концепции, которую он хочет понять ради самой сути. Но затем, как говорит Ана Караиани, теоретик чисел из Принстонского университета, сотрудничавшая с Шольце, созданные им структуры «оказываются на применении в миллионе других направлений, которые не были предсказаны в то время, просто потому, что это были подходящие объекты для размышлений».

Изучение арифметики

Шольце начал самостоятельно изучать математику университетского уровня в возрасте 14 лет, посещая гимназию имени Генриха Герца, берлинскую школу, специализирующуюся на математике и естественных науках. В гимназии имени Генриха Герца, по словам Шольце, «если ты интересовался математикой, тебя не считали чужаком».

В 16 лет Шольце узнал, что десять лет назад Эндрю Уайлз доказал знаменитую задачу XVII века, известную как Великая теорема Ферма, которая гласит, что уравнение xn + yn = zn не имеет ненулевых целых решений, если n больше двух. Шольце с нетерпением хотел изучить доказательство, но быстро обнаружил, что, несмотря на простоту задачи, ее решение использует одни из самых передовых математических методов. «Я ничего не понял, но это было действительно увлекательно», — сказал он.

Поэтому Шольце действовал в обратном порядке, выясняя, что ему нужно изучить, чтобы понять доказательство. «По сей день я во многом так и учусь», — сказал он. «На самом деле, я никогда не изучал такие базовые вещи, как линейная алгебра, — я усвоил их только через изучение других предметов».

Погружаясь в доказательство , Шольце был очарован задействованными математическими объектами — структурами, называемыми модулярными формами и эллиптическими кривыми, которые таинственным образом объединяют разрозненные области теории чисел, алгебры, геометрии и анализа. По его словам, чтение о типах задействованных объектов оказалось даже более увлекательным, чем сама задача.

У Шольце начали формироваться математические интересы. Сегодня его по-прежнему привлекают задачи, корни которых лежат в простых уравнениях о целых числах. Эти вполне осязаемые корни делают даже эзотерические математические структуры для него конкретными. «В конце концов, меня интересует арифметика», — сказал он. По его словам, он чувствует себя наиболее счастливым, когда его абстрактные построения приводят его обратно к небольшим открытиям об обычных целых числах.

После окончания средней школы Шольце продолжил изучать теорию чисел и геометрию в Боннском университете. На занятиях по математике он никогда не делал записей, вспоминает его однокурсник Хеллманн. Шольце мог понимать материал курса в режиме реального времени, говорит Хеллманн. «Не просто понимать, а понимать на каком-то глубоком уровне, так что он ничего не забывал».

Шольце начал свои исследования в области арифметической геометрии, которая использует геометрические инструменты для понимания решений полиномиальных уравнений целыми числами — таких уравнений, как xy² + 3y = 5, которые содержат только числа, переменные и показатели степени. Для некоторых уравнений такого типа полезно изучать, имеют ли они решения в альтернативных системах счисления, называемых p-адическими числами, которые, подобно действительным числам, строятся путем заполнения промежутков между целыми числами и дробями. Но эти системы основаны на нестандартном представлении о том, где находятся промежутки и какие числа близки друг к другу: в p-адической системе счисления два числа считаются близкими не в том случае, если разница между ними мала, а в том случае, если эта разница делится много раз на p.

Это странный, но полезный критерий. Например, 3-адические числа предоставляют естественный способ изучения уравнений типа x² = 3y², в которых множители числа три играют ключевую роль.

П-адические числа «далеки от наших повседневных представлений», — сказал Шольце. Однако с годами они стали казаться ему естественными. «Теперь действительные числа кажутся мне гораздо, гораздо более запутанными, чем п-адические. Я так к ним привык, что теперь действительные числа кажутся очень странными».

В 1970-х годах математики заметили, что многие задачи, касающиеся p-адических чисел, упрощаются, если разложить p-адические числа, создав бесконечную башню числовых систем, в которой каждая из них p раз обвивается вокруг нижележащей, при этом p-адические числа находятся у основания башни. На «вершине» этой бесконечной башни находится пространство полного обвивания — фрактальный объект, являющийся простейшим примером перфектоидных пространств, которые Шольце разработает позже.

Шольце поставил перед собой задачу разобраться, почему эта бесконечная конструкция с обертыванием упрощает решение многих задач, связанных с p-адическими числами и многочленами. «Я пытался понять суть этого явления, — сказал он. — Не существовало общего формализма, который мог бы это объяснить».

В конце концов он понял, что можно построить перфектоидные пространства для самых разных математических структур. Он показал, что эти перфектоидные пространства позволяют переносить вопросы о многочленах из p-адического мира в другую математическую вселенную, где арифметика намного проще (например, при сложении не нужно переносить). «Самое странное свойство перфектоидных пространств заключается в том, что они могут волшебным образом перемещаться между двумя системами счисления», — сказал Вайнштейн.

Это открытие позволило Шольце доказать часть сложного утверждения о p-адических решениях многочленов, называемого гипотезой весовой монодромии, которое стало его докторской диссертацией 2012 года. Диссертация «имела настолько далеко идущие последствия, что стала темой исследований групп по всему миру», — сказал Вайнштейн.

Шольце «нашел абсолютно правильный и наиболее чистый способ объединить всю ранее проделанную работу и найти для этого элегантную формулировку, а затем, поскольку он нашел действительно правильную структуру, выйти далеко за рамки известных результатов», — сказал Хеллманн.

Полёт над джунглями

Несмотря на сложность перфектоидных пространств, Шольце известен ясностью своих докладов и статей. «Я ничего по-настоящему не понимаю, пока Питер мне это не объяснит», — сказал Вайнштейн.

Как отметила Караиани, Шольце старается объяснять свои идеи на таком уровне, чтобы их могли понять даже начинающие аспиранты. «В его словах чувствуется открытость и щедрость, — сказала она. — И он делает это не только с несколькими старшими коллегами, но и со многими молодыми людьми, которые имеют к нему доступ». По словам Караиани, дружелюбный и располагающий к себе характер Шольце делает его идеальным лидером в своей области. Однажды, когда они с Шольце отправились в сложный поход с группой математиков, «он бегал вокруг, следя за тем, чтобы все добрались до места, и проверял, как у всех дела», — сказала Караиани.

Однако, даже с учетом объяснений Шольце, другим исследователям трудно понять перфектоидные пространства, сказал Хеллманн. «Если вы немного отклонитесь от пути или способа, который он предписывает, то окажетесь посреди джунглей, и это действительно очень сложно». Но сам Шольце, по словам Хеллманна, «никогда не заблудится в джунглях, потому что он никогда не пытается бороться с джунглями. Он всегда ищет общий обзор, какую-то ясную концепцию».

Шольце избегает запутывания в лианах джунглей, заставляя себя летать над ними: как и в студенческие годы, он предпочитает работать, ничего не записывая. Это означает, что он должен формулировать свои идеи максимально четко, сказал он. «В вашей голове ограниченные возможности, поэтому вы не можете делать слишком сложные вещи».

В то время как другие математики начинают изучать перфектоидные пространства, некоторые из самых важных открытий в этой области, что неудивительно, были сделаны Шольце и его коллегами. В 2013 году результат, опубликованный им в интернете, «действительно ошеломил сообщество», — сказал Вайнштейн. «Мы понятия не имели, что такая теорема уже не за горами».

Результат Шольце расширил область применения правил, известных как законы взаимности, которые регулируют поведение многочленов, использующих арифметику часов (хотя и не обязательно 12-часовых). Арифметика часов (в которой, например, 8 + 5 = 1, если часы показывают 12 часов) является наиболее естественной и широко изучаемой конечной числовой системой в математике.

Законы взаимности — это обобщение закона квадратичной взаимности, которому уже 200 лет. Этот закон является краеугольным камнем теории чисел и одной из любимых теорем Шольце. Закон гласит, что для двух простых чисел p и q в большинстве случаев p является полным квадратом на часах с q часами ровно тогда, когда q является полным квадратом на часах с p часами. Например, пять является полным квадратом на часах с 11 часами, поскольку 5 = 16 = 42, а 11 является полным квадратом на часах с пятью часами, поскольку 11 = 1 = 12.

«Меня это очень удивляет, — сказал Шольце. — На первый взгляд, эти две вещи, кажется, никак не связаны друг с другом».

«Многие положения современной алгебраической теории чисел можно интерпретировать как попытки обобщить этот закон», — сказал Вайнштейн.

В середине XX века математики обнаружили удивительную связь между законами взаимности и, казалось бы, совершенно иной областью: «гиперболической» геометрией узоров, таких как знаменитые мозаики из ангелов и дьяволов на диске, созданные М. К. Эшером. Эта связь является ключевой частью «программы Лэнглендса» — совокупности взаимосвязанных гипотез и теорем о взаимосвязи между теорией чисел, геометрией и анализом. Когда эти гипотезы доказываются, они часто оказываются чрезвычайно мощными: например, доказательство Великой теоремы Ферма свелось к решению одного небольшого (но весьма нетривиального) раздела программы Лэнглендса.

Математики постепенно осознали, что программа Лэнглендса простирается далеко за пределы гиперболического диска; её также можно изучать в многомерных гиперболических пространствах и в различных других контекстах. Теперь Шольце показал, как расширить программу Лэнглендса на широкий спектр структур в «гиперболическом трёхмерном пространстве» — трёхмерном аналоге гиперболического диска — и за его пределами. Построив перфектоидную версию гиперболического трёхмерного пространства, Шольце открыл совершенно новый набор законов взаимности.

«Работа Питера действительно полностью изменила наши возможности и расширила наш доступ к ресурсам», — сказал Караиани.

По словам Вайнштейна, результаты исследования Шольце показывают, что программа Лэнглендса «находится глубже, чем мы думали… она более систематична, она постоянно присутствует».

Перемотка вперед

По словам Вайнштейна, обсуждение математики с Шольце подобно консультации с «оракулом истины». «Если он скажет: „Да, это сработает“, вы можете быть в этом уверены; если он скажет „нет“, вам следует сразу же сдаться; а если он скажет, что не знает — что тоже случается — тогда, что ж, вам повезло, потому что перед вами интересная проблема».

Однако сотрудничество с Шольце не такое напряженное, как можно было бы ожидать, сказала Караиани. По ее словам, во время работы с Шольце никогда не возникало ощущения спешки. «Создавалось ощущение, что мы всегда делаем все правильно — каким-то образом доказываем наиболее общую теорему, какую только можем, самым изящным образом, используя правильные конструкции, которые прояснят ситуацию».

Однако был один случай, когда Шольце сам поторопился — когда пытался закончить статью в конце 2013 года, незадолго до рождения дочери. Хорошо, что он тогда себя подтолкнул, сказал он. «После этого я мало что успел сделать».

По словам Шольце, отцовство заставило его стать более дисциплинированным в использовании своего времени. Но ему не нужно специально выделять время для исследований — математика просто заполняет все промежутки между его другими обязанностями. «Математика — это, наверное, моя страсть, — сказал он. — Мне всегда хочется думать о ней».

Однако он нисколько не склонен романтизировать эту страсть. На вопрос, чувствует ли он, что ему суждено стать математиком, он уклонился от ответа. «Это звучит слишком философски», — сказал он.

Будучи человеком закрытым, он несколько смущен своей растущей известностью (например, в марте он стал самым молодым лауреатом престижной немецкой премии Лейбница, которая предусматривает выплату 2,5 миллионов евро на будущие исследования). «Иногда это немного ошеломляет», — сказал он. «Я стараюсь не позволять этому влиять на мою повседневную жизнь».

Шольце продолжает исследовать перфектоидные пространства, но также расширил свою деятельность на другие области математики, затронув алгебраическую топологию, которая использует алгебру для изучения геометрических форм. «За последние полтора года Питер стал настоящим мастером в этой области», — сказал Бхатт. «Он изменил то, как [эксперты] думают об этом».

По словам Бхатта, для других математиков приход Шольце в их область может быть одновременно пугающим и захватывающим. «Это означает, что наука будет развиваться очень быстро. Я в восторге от того, что он работает в области, близкой к моей, поэтому я вижу, как движутся вперед границы знаний».

Однако для Шольце его работа пока что лишь разминка. «Я все еще нахожусь на этапе изучения того, что есть, и, возможно, перефразирую это своими словами», — сказал он. «Я не чувствую, что действительно начал проводить исследования».

Данная статья была перепечатана на сайте Spektrum.de.

Источник: www.quantamagazine.org