В процессе классификации геометрических фигур топологи уделяют особое внимание определению многообразия и тому, что означает эквивалентность двух из них. Сохранить статью Прочитать позже
Введение
Сортировка набора фигур — детская игра. Круги здесь, квадраты там, треугольники в отдельной кучке.
Но если отнестись к задаче серьёзно, то она гораздо шире. Более того, одна из крупнейших дисциплин математики — топология — как раз и занимается подобными задачами, и после столетий скоординированных усилий математики даже близко не подошли к её завершению.
Топологи изучают свойства общих версий фигур, называемых многообразиями. Их главная цель — их классификация. В этой работе выделяется несколько ключевых различий. Что же такое многообразия и какое понятие тождественности мы имеем в виду, сравнивая их?
Вот основные отличия.
Многообразия могут представлять собой фигуры любой размерности: от нульмерных точек до одномерных линий, от двумерных поверхностей (например, поверхности шара) до 100-мерных пространств (и более), которые трудно представить, но математически так же реальны, как и всё остальное. Математики изучают их, потому что, помимо прочего, трёх- и четырёхмерные многообразия определяют обстановку нашей жизни.
«Они похожи на то место, где мы живем, на Землю или на космос, в котором мы живем. Возможно, Вселенная — это интересное многообразие», — сказала Мэгги Миллер, научный сотрудник Стэнфордского университета.
Все многообразия объединяет определённая общая плоскостность. Если бы вы оказались на поверхности многообразия, пространство вокруг вас показалось бы плоским. Именно это мы и наблюдаем на Земле. Глядя на его поверхность, которая представляет собой двумерное многообразие, можно (на мгновение!) прийти к выводу, что наша планета плоская.
Как правило, глобальные характеристики многообразия — например, изогнуто ли оно подобно сфере или содержит отверстие, подобно пончику, — невозможно определить с точки зрения наблюдателя. Среди прочего, это определение исключает такие формы, как два конуса, соприкасающиеся вершинами, как песочные часы. Если бы вы жили в этом пространстве, вы бы знали, что в точке соединения вершин происходит что-то странное.
При выполнении этого условия плоскостности многообразия разделяются на три основных типа. Наименее сложным является «топологическое» многообразие. Оно обладает тем простым свойством, что его можно провести пальцем по всей его поверхности, не отрывая пальца. Это означает, что оно непрерывно, поскольку не имеет резких переходов из одной точки в другую. Непрерывность уже была частью определения многообразия, поэтому все многообразия автоматически являются топологическими.
Самый сложный тип — «гладкое» многообразие. Оно обладает всеми свойствами топологического многообразия: плоскостностью и непрерывностью, но есть и кое-что ещё. Проведите по нему пальцем, и траектория всегда будет, мягко говоря, гладкой: вы никогда не столкнётесь с резкими поворотами, как это было бы на топологическом многообразии.
Эта равномерная гладкость имеет важные последствия. Она позволяет сопоставить каждой точке гладкого многообразия единственную касательную плоскость, что означает возможность проведения вычислений на гладких многообразиях.
Третий тип многообразий по сложности находится между простыми топологическими многообразиями и более сложными гладкими многообразиями. Он называется кусочно-линейным многообразием и представляет его себе составленным из многоугольных плиток. Кусочно-линейные многообразия, как и топологические, могут иметь углы, но кусочная структура ограничивает их местонахождение: только в вершинах, где встречаются плитки.
«В топологическом многообразии углы не изолированы так, как в кусочно-линейном многообразии, где есть небольшое ребро, разделяющее углы», — сказал Миллер.
Кусочно-линейные многообразия по сложности занимают промежуточное положение между топологическими и гладкими, но при этом находятся немного в стороне. Многие важнейшие вопросы топологии основаны на различии между топологическими и гладкими многообразиями, оставляя кусочно-линейные в стороне. Они становятся всё более важными при изучении многообразий более высокой размерности, начиная с 5-й.
Узнав, что такое коллекторы, вы можете начать задаваться вопросом, когда одно из них совпадает с другим.
Самое базовое понятие тождественности называется гомотопической эквивалентностью. Два многообразия считаются одинаковыми по этому стандарту, если одно из них можно растянуть, сжать и развернуть, придав ему форму другого, не разрывая его.
Согласно этому свободному стандарту, многие фигуры, которые не похожи друг на друга, считаются одинаковыми: трёхмерный мяч (например, бейсбольный) гомотопически эквивалентен одной точке, поскольку его можно непрерывно деформировать до точки, не разрывая при этом. Однако пончик гомотопически не эквивалентен точке из-за отверстия в его центре, которое невозможно устранить, как бы сильно его ни сжимали.
Помимо гомотопической эквивалентности, существуют два других, более сложных понятия тождественности. Каждое из них соответствует определённому типу многообразий: одно — топологическим, а другое — гладким. То, что у каждого из них есть своё сопутствующее понятие эквивалентности, вполне логично: в конце концов, для сравнения романов не используют ту же метрику, что и для сравнения беспозвоночных.
«Когда вы изучаете определение нового типа пространства, вы почти можете угадать определение эквивалентности, потому что оно должно естественным образом отражать определение пространства», — сказала Сара Блэквелл, аспирантка Университета Джорджии.
Для топологических многообразий соответствующий стандарт называется гомеоморфизмом. Это преобразование («морфизм»), которое сопоставляет каждую точку одного топологического многообразия с уникальной точкой другого таким образом, что сохраняется ощущение расстояния между точками.
«Если у вас есть две точки, которые находятся близко друг к другу здесь, то при взгляде на их изображения там они должны быть близко друг к другу», — сказал Блэквелл.
Для гладких многообразий стандарт эквивалентности более сложен. Он называется диффеоморфизмом. Как и раньше, близкие точки одного многообразия должны быть объединены в пару с близкими точками другого, только теперь это объединение должно осуществляться таким образом, чтобы сохранить гладкую структуру обоих многообразий. Другими словами, если невозможно объединить точки в пару, не создавая, например, угол, то два многообразия не диффеоморфны друг другу.
Эти различия лежат в основе грандиозного проекта топологической классификации. Математики добились значительного прогресса в этой классификации по всем измерениям, за исключением четвёртого, где она практически полностью открыта.
Наиболее значимым результатом классификации стало доказательство Майклом Фридманом четырёхмерной гипотезы Пуанкаре, представленное в 1981 году. Оно установило, что любое четырёхмерное топологическое многообразие, гомотопически эквивалентное четырёхмерной сфере, также гомеоморфно ей. Как объяснил журнал Quanta в недавней статье, это доказательство было настолько сложным и плохо изложенным, что постепенно исчезало из математики, пока не появилась недавняя книга, вернувшая его к жизни.
Работа Фридмана связала две совершенно разные формы эквивалентности. Гомотопическая эквивалентность, при которой шар эквивалентен точке, существенно отличается от гомеоморфной эквивалентности, которая требует очень точного спаривания точек. Однако Фридман доказал, в своей конкретной ситуации, что первая, более свободная форма эквивалентности всегда подразумевает вторую, гораздо более сильную.
Однако доказательство Фридмана оставило открытой гипотезу Пуанкаре о «гладком» четырёхмерном пространстве, которая гласит, что любое гладкое четырёхмерное многообразие, гомотопически эквивалентное четырёхмерной сфере, также диффеоморфно ей. Это утверждение ещё сильнее, чем доказанное Фридманом, поскольку диффеоморфизм — более сильная форма эквивалентности, чем гомеоморфизм, и математики сегодня не знают, как это опровергнуть.
Это ставит их в странное положение, поскольку они не в состоянии выполнить одну из самых основных задач классификации: распознать, когда гладкое четырехмерное многообразие на самом деле является сферой.
Источник: www.quantamagazine.org
