Математические инструменты, известные как вейвлеты, основанные на повсеместно используемом преобразовании Фурье, позволяют проводить беспрецедентный анализ и понимание непрерывных сигналов. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже
Введение
В мире, где все большее значение приобретают данные, математические инструменты, известные как вейвлеты, стали незаменимым способом анализа и понимания информации. Многие исследователи получают данные в виде непрерывных сигналов, то есть непрерывного потока информации, изменяющегося во времени, например, геофизик, слушающий звуковые волны, отражающиеся от слоев горных пород под землей, или специалист по анализу данных, изучающий электрические потоки данных, полученные при сканировании изображений. Эти данные могут принимать множество различных форм и узоров, что затрудняет их анализ в целом или их разделение на отдельные части — но вейвлеты могут помочь.
Вейвлеты — это представления коротких волнообразных колебаний с различными частотными диапазонами и формами. Поскольку они могут принимать множество форм — возможны практически любые частоты, длины волн и конкретные формы — исследователи могут использовать их для идентификации и сопоставления конкретных волновых паттернов практически в любом непрерывном сигнале. Благодаря своей широкой универсальности вейвлеты произвели революцию в изучении сложных волновых явлений в обработке изображений, связи и научных потоках данных.
«На самом деле, немногие математические открытия оказали такое же влияние на наше технологическое общество, как вейвлеты», — сказал Амир-Хомаюн Наджми, физик-теоретик из Университета Джонса Хопкинса. «Теория вейвлетов открыла двери для множества приложений в единой системе с акцентом на скорость, разреженность и точность, которые ранее были просто недоступны».
Вейвлеты возникли как своего рода усовершенствование чрезвычайно полезного математического метода, известного как преобразование Фурье. В 1807 году Жозеф Фурье обнаружил, что любая периодическая функция — уравнение, значения которого циклически повторяются, — может быть выражена как сумма тригонометрических функций, таких как синус и косинус. Это оказалось полезным, поскольку позволяет исследователям разбивать сигнальный поток на составляющие части, что, например, позволяет сейсмологу определять природу подземных сооружений на основе интенсивности различных частот в отраженных звуковых волнах.
В результате преобразование Фурье напрямую привело к ряду применений в научных исследованиях и технологиях. Но вейвлеты позволяют добиться гораздо большей точности. «Вейвлеты открыли двери для многих улучшений в области шумоподавления, восстановления и анализа изображений», — говорит Вероник Делуй, прикладной математик и астрофизик из Королевской обсерватории Бельгии, которая использует вейвлеты для анализа изображений Солнца.
Это связано с существенным ограничением преобразований Фурье: они предоставляют информацию только о частотах, присутствующих в сигнале, ничего не говоря об их времени или количестве. Это как если бы у вас был процесс определения того, какие купюры находятся в пачке денег, но не сколько каждой из них на самом деле. «Вейвлеты определенно решили эту проблему, и именно поэтому они так интересны», — сказал Мартин Веттерли, президент Швейцарского федерального института технологий в Лозанне.
Первая попытка решить эту проблему была предпринята венгерским физиком Деннисом Габором, который в 1946 году предложил разрезать сигнал на короткие, локализованные во времени сегменты перед применением преобразования Фурье. Однако анализ таких сегментов был затруднен в более сложных сигналах с сильно изменяющимися частотными компонентами. Это побудило инженера-геофизика Жана Морле разработать использование временных окон для исследования волн, причем длина окон зависела от частоты: широкие окна для низкочастотных сегментов сигнала и узкие окна для высокочастотных сегментов.
Но эти окна по-прежнему содержали нечеткие реальные частоты, которые было трудно анализировать. Поэтому Морле предложил сопоставить каждый сегмент с аналогичной волной, математически хорошо изученной. Это позволило ему понять общую структуру и временные характеристики этих сегментов и исследовать их с гораздо большей точностью. В начале 1980-х годов Морле назвал эти идеализированные волновые паттерны «онделеттами», что по-французски означает «вейвлеты» — буквально «маленькие волны» — из-за их внешнего вида. Таким образом, сигнал можно было разбить на более мелкие области, каждая из которых центрирована вокруг определенной длины волны, и проанализировать, сопоставив их с соответствующим вейвлетом. Теперь, возвращаясь к предыдущему примеру, перед нами окажется куча денег, и мы будем знать, сколько купюр каждого вида в ней содержится.
В общих чертах представьте, что вы перемещаете определенный вейвлет с заданной частотой и формой по исходному сигналу. При особо точном совпадении математическая операция между ними, известная как скалярное произведение, становится равной нулю или очень близка к нему. Сканируя весь сигнал вейвлетами разных частот, вы можете составить полную картину всей последовательности сигналов, что позволит провести тщательный анализ.
Исследования вейвлетов развивались стремительно. Французский математик Ив Мейер, профессор Высшей нормальной школы в Париже, ждал своей очереди у ксерокса, когда коллега показал ему статью о вейвлетах Морле и физика-теоретика Алекса Гроссмана. Мейер сразу же заинтересовался и сел на первый же поезд до Марселя, где начал работать с Гроссманом и Морле, а также с математиком и физиком Ингрид Добеши (ныне работающей в Университете Дьюка). Мейер впоследствии получил Абелевскую премию за свою работу по теории вейвлетов.
Несколько лет спустя аспирант Пенсильванского государственного университета, изучавший компьютерное зрение и анализ изображений, по имени Стефан Маллат случайно встретил на пляже старого друга. Друг, аспирант Мейера в Париже, рассказал Маллату об их исследованиях в области вейвлетов. Маллат сразу понял важность работы Мейера для своих собственных исследований и быстро объединил усилия с Мейером. В 1986 году они опубликовали статью о применении вейвлетов в анализе изображений. В конечном итоге эта работа привела к разработке JPEG2000, формы сжатия изображений, используемой во всем мире. Эта техника анализирует сигнал отсканированного изображения с помощью вейвлетов, создавая набор пикселей, который в целом намного меньше исходного изображения, но при этом позволяет восстановить изображение с исходным разрешением. Эта техника оказалась ценной, когда технические ограничения препятствовали передаче очень больших наборов данных.
Одна из причин полезности вейвлетов — их универсальность, позволяющая декодировать практически любые данные. «Существует множество типов вейвлетов, и их можно сжимать, растягивать, адаптировать к конкретному изображению», — говорит Даан Хюйбрехс, инженер-математик из Католического университета Левена в Бельгии. Волновые паттерны в оцифрованных изображениях могут различаться по многим параметрам, но вейвлеты всегда можно растянуть или сжать, чтобы они соответствовали участкам сигнала с более низкими или более высокими частотами. Формы волновых паттернов также могут сильно меняться, но математики разработали различные типы, или «семейства», вейвлетов с разными масштабами длин волн и формами, чтобы соответствовать этой изменчивости.
Одно из наиболее известных семейств вейвлетов — это материнский вейвлет Даубеши, члены которого обладают самоподобной фрактальной структурой с большими асимметричными пиками, имитирующими меньшие копии этих пиков. Эти вейвлеты оказались настолько чувствительными к анализу изображений, что эксперты использовали их для различения оригинальных картин Винсента ван Гога от подделок. Другие семейства вейвлетов, известные своей формой, включают в себя вейвлет «мексиканская шляпа» с одним центральным максимумом и двумя смежными минимумами, а также вейвлет Койфлета (названный в честь математика Рональда Койфмана из Йельского университета), похожий на «мексиканскую шляпу», но с острыми пиками вместо плоских зон. Они полезны для захвата и устранения нежелательных шумовых всплесков в изображениях, звуковых сигналах и потоках данных, генерируемых научными приборами.
Помимо использования в анализе звуковых сигналов и обработке изображений, вейвлеты также являются инструментом в фундаментальных исследованиях. Они могут помочь исследователям выявлять закономерности в научных данных, позволяя анализировать целые наборы данных одновременно. «Меня всегда поражает разнообразие их применений», — сказал Хуйбрехс. «В вейвлетах есть что-то такое, что делает их «правильным» способом анализа данных», и это верно независимо от типа данных.
Исправление: 14 октября 2021 г.
В более ранней версии инфографики в этой статье семейство вейвлетов Баттла-Лемари было написано с ошибкой, а название Beylkin использовалось менее распространенное написание.
Источник: www.quantamagazine.org
