Сосредоточившись на взаимосвязях между решениями полиномиальных уравнений, а не на самих точных решениях, Эварист Галуа изменил ход современной математики. Сохранить статью Прочитать позже
Введение
Прежде чем получить смертельное ранение на дуэли в возрасте 20 лет, Эварист Галуа открыл скрытую структуру полиномиальных уравнений. Изучая взаимосвязи между их решениями, а не сами решения, он создал новые концепции, которые впоследствии стали неотъемлемой частью многих разделов математики.
Никто не знает, почему Галуа оказался на парижской дуэльной площадке ранним утром 30 мая 1832 года, но, как гласит легенда, накануне вечером он допоздна дописывал свои последние рукописи. Там он написал:
Докопайтесь до истоков этих вычислений! Сгруппируйте операции. Классифицируйте их по сложности, а не по внешнему виду! Я верю, что именно в этом и заключается миссия будущих математиков. Именно по этому пути я и иду в этой работе.
Эдикт Галуа появился из математического затруднения. В XVI веке математики изучали многочлены, такие как x² − 2 и x¾ − 10x² + 2². Они пытались найти простые формулы, которые позволили бы им вычислить корни этих многочленов — значения x, при которых уравнение равно нулю, — но могли найти их только тогда, когда наивысший показатель степени не превышал 4.
Более того, сам Галуа доказал, что таких формул не существует. Поэтому он разработал новый способ изучения корней: вместо того, чтобы точно их вычислять, он понял, что можно изучать алгебраические соотношения между ними, сосредоточившись на их сложности, а не на их внешнем виде.
По сути, его подход был подобен рассмотрению различных симметрий фигуры. Это различные способы переориентации фигуры так, чтобы она выглядела так же, как и прежде, например, поворот квадрата на 180 градусов. Симметрии между корнями многочлена — это способы их перестановки так, чтобы сохранить прежние алгебраические соотношения.
И так же, как некоторые фигуры имеют больше симметрий, чем другие (круг имеет бесконечное множество симметрий, а квадрат — всего восемь), вы можете переставлять корни некоторых полиномиальных уравнений более свободно, чем корни других.
«Некоторые способы перестановки корней могут быть несовместимы с правилами алгебры. В этом смысле корни могут быть не полностью взаимозаменяемы», — сказал Брайан Конрад из Стэнфордского университета.
Степень, в которой корни можно переставлять друг с другом, сохраняя алгебраическую согласованность, — это тонкое свойство, которое многое говорит математикам о том, как распознавать особенности многочленов, которые невозможно увидеть, просто взглянув на них. Проще всего это увидеть на примерах. Давайте рассмотрим два примера, каждый из которых имеет три корня (поскольку наивысший показатель степени каждого равен 3):
f(x) = x3 − 7x + 5
g(x) = x3 − 7x + 7
На бумаге они почти идентичны. Но на самом деле корни одного из них можно перестраивать гораздо больше, чем корни другого.
Давайте сначала сосредоточимся на функции f(x). Здесь у нас есть три корня: a, b и c. Мы можем алгебраически объединить их, чтобы получить новое значение, взяв произведение пар корней и сложив их. Для всех кубических многочленов (со старшим показателем 3) с коэффициентом 1 при кубе многочлена известно, что это конкретное алгебраическое выражение, составленное из корней, всегда равно коэффициенту при линейном члене, то есть члене, возведённом в первую степень. В нашем примере это −7.
Получаем такое алгебраическое уравнение:
ab + ac + bc = −7.
Теперь переставим корни, оставив c в покое, но поменяв местами a и b. Получаем:
ba + bc + ac = −7.
Перестановка корней таким образом сохраняет алгебраическую связь между ними: уравнение остаётся верным, поскольку умножение и сложение коммутативны, то есть изменение порядка корней (например, перестановка корней) не меняет ответа. Фактически, в этом примере все шесть возможных способов перестановки корней (включая тот, где они не меняются) сохраняют эту связь:
а, б, в: аб + ас + бс = − 7
б, а, с: ба + бс + ас = −7
с, б, а: сб + ка + ба = −7
а, с, b: ac + ab + cb = −7
б, в, а: бс + ба + ка = −7
c, a, b: ca + cb + ab = −7
Теперь рассмотрим второй многочлен, g(x) = x3 − 7x + 7. Если обозначить корни r, s и t, то справедливо уравнение, аналогичное уравнению для f(x):
рс + рт + ст = −7.
Это будет верно для любого кубического многочлена, начальный член которого равен x3, а линейный член равен −7x. И снова, все шесть возможных конфигураций по-прежнему равны −7. Но, что любопытно, для g(x) не все из них считаются симметриями многочлена.
Это связано с тем, что алгебраические соотношения между его корнями более сложны: существует дополнительное особое алгебраическое соотношение, которому удовлетворяют его корни. Это особое соотношение: (r − t)(r − s)(t − s) = 7 (при условии, что r меньше s, а s меньше t). Только три из шести возможных перестановок его корней сохраняют оба алгебраических соотношения: rs + rt + st = 7 и (r − t)(r − s)(t − s) = 7:
r, s, t: (r − t)(r − s)(t − s) = 7
с, р, т: (с − т)(с − р)(т − р) = −7
т, с, р: (т − р)(т − с)(р − с) = −7
r, t, s: (r − s)(r − t)(s − t) = −7
с, т, р: (с − р)(с − т)(р − т) = 7
т, р, с: (т − с)(т − р)(с − р) = 7
Три перестановки, выделенные жирным шрифтом, сохраняют все алгебраические соотношения между корнями, даже за пределами этих двух. Следовательно, эти три перестановки считаются симметриями многочлена.
На первый взгляд не очевидно, что два многочлена имеют разные уровни сложности, но это становится очевидным, если принять точку зрения, изобретенную Галуа.
Галуа выразил свой подход в виде новых объектов, которые впоследствии стали называть группами Галуа, кодирующих сложность алгебраических соотношений между корнями заданного многочлена. В рамках этих соотношений перестановки корней можно применять одну за другой, но их можно отменить, чтобы вернуться к исходной точке — точно так же, как можно применить симметрии квадрата, а затем отменить их, чтобы вернуться к исходной точке.
Эта идея отражает общую концепцию группы в математике, которая представляет собой совокупность симметрий, независимо от того, относятся ли они к квадрату или корням многочлена. Группы Галуа были первыми примерами концепции группы, и идеи Галуа развились в то, что сегодня является мощной и повсеместно распространенной областью исследований, называемой теорией групп.
Группы Галуа предоставляют мощную перспективу для изучения полиномиальных уравнений. Если вы знаете группу Галуа полинома, то поведение его корней можно понять, используя многие инструменты теории групп. Знания, которые вы получите при таком подходе, гораздо более поучительны, чем те, которые можно получить, выполняя алгебраические действия с самим полиномом.
«[С группами Галуа] вы получаете один фрагмент информации, который распространяется и рассказывает вам гораздо больше», — сказал Дэвид Харбатер из Университета Пенсильвании.
Например, группа Галуа сразу определяет, можно ли вообще решить многочлен, и позволяет сравнивать внутреннюю структуру различных многочленов. Группы Галуа также можно использовать для изучения различных математических объектов в алгебре и теории чисел, открывая пути к решению задач, которые иначе не были бы доступны.
«Превращение вопроса о многочленах в вопрос о группах открывает дверь ко многим другим математическим операциям и методам, которые невозможно просто описать на исходном языке многочленов», — сказал Конрад.
Благодаря своей экспансивности группы Галуа играли центральную роль во многих самых известных математических проектах за последнее столетие. Они фигурировали в доказательстве гипотезы Морделла, полученном Гердом Фальтингсом в 1983 году, и доказательстве Великой теоремы Ферма, полученном Эндрю Уайлсом в 1994 году.
Группы Галуа также находятся в центре некоторых из самых захватывающих современных математических исследований. Как объяснила Quanta в недавней статье, они являются стержнем обширной программы Ленглендса, которая превращает вопрос о многочленах в более сложный и познавательный вопрос о связи между группами Галуа и другим специальным классом групп.
Хотя жизнь Эвариста Галуа оборвалась, его величайшее достижение продолжит развивать математику еще многие столетия — хотя трудно предсказать, как именно.
«[Группы Галуа] просто имеют свойство появляться в неожиданных местах», — сказал Хосе Родригес из Висконсинского университета в Мадисоне.
Источник: www.quantamagazine.org
