Исследуйте фигуру, которая не может пройти сама сквозь себя, юного вундеркинга и два новых вида бесконечности. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже
В 17 лет Ханна Каиро разгадала важную математическую загадку.
Математика по своей сути — это искусство. Подобно художникам, музыкантам или писателям, математики создают и исследуют новые миры. Они проверяют, а затем преодолевают пределы своего воображения. Они взаимодействуют с тысячелетней историей, с концепциями, вкусами и модой, которые постоянно меняются.
В той или иной степени именно это художественное стремление к красоте, истине и смыслу лежит в основе каждой истории о квантовой математике. Это в полной мере проявилось в одной из моих любимых статей года — рассказе Кевина Хартнетта о том, как математик по имени Ханна Каиро решила важную задачу в области гармонического анализа — всего в 17 лет.
Каиро выросла на Багамах, где училась дома, изучая математику по видеоурокам Khan Academy и всему остальному, что могла найти в интернете. Она обнаружила, что домашнее обучение было невероятно одиноким и ограничивающим. «Было это неизбежное однообразие, — рассказала она Хартнетту. — Что бы я ни делала, я всегда была в одном и том же месте и занималась в основном одними и теми же делами. Я была очень изолирована, и ничто не могло это изменить».
За исключением изучения математики. Математика дала ей необходимый отдушину, целую вселенную для странствий — по словам Каиро, «мир идей, который я могу исследовать самостоятельно». Здесь невозможно не воспринимать математику как искусство: способ экспериментировать с новыми идеями, бороться с миром, который не всегда имеет смысл.
И, что особенно важно, она подвергла сомнению устоявшиеся предположения. В подростковом возрасте Каиро переехала в Калифорнию, где посещала аспирантские занятия в Калифорнийском университете в Беркли и столкнулась с гипотезой 40-летней давности о поведении функций. После нескольких месяцев упорной работы она сконструировала контрпример к этой гипотезе, который упустили из виду более опытные математики. Подобно тому, как искусство часто неразрывно связано с художником, создавшим его, Каиро оказалась в уникальном положении, чтобы сформулировать новый взгляд на изучаемые ею функции, что позволило ей показать, что они могут вести себя гораздо более неинтуитивно, чем предполагали математики.
Зачастую именно в этом и заключается успех в математике.
Доказательство «Десяти мартини» использует теорию чисел для объяснения квантовых фракталов.
Математика тоже прекрасна и удивительна. Помню, как впервые услышал о решении «проблемы десяти мартини» — результате, описывающем, как энергетические уровни электронов могут образовывать хорошо известный фрактальный узор, называемый множеством Кантора, — я был потрясен. Это напомнило мне знаменитое эссе Юджина Вигнера о «невероятной эффективности математики», в котором рассматривается, как абстрактная математика часто таинственным образом предоставляет идеальный язык для понимания окружающего мира. А то, что множество Кантора появилось в решениях уравнения Шрёдингера в квантовой физике, что оно способно дать представление о том, как ведут себя электроны в кристалле, когда их помещают рядом с магнитом — неужели это правда?
В увлекательной статье Линди Чиу и штатный автор журнала Quanta Джо Хоулетт исследуют эту проблему, которая, как известно, была настолько сложной для решения, что один математик предложил 10 мартини тому, кто сможет её решить. Проблема была впервые решена в 2004 году, но способом, который один из авторов доказательства, Светлана Житомирская, счёла неудовлетворительным. Доказательство «было похоже на лоскутное одеяло, каждый квадрат которого был сшит из отдельных аргументов», — пишут Чиу и Хоулетт. И его нельзя было применить для решения проблемы в более общих и реалистичных условиях, что побудило Житомирскую вернуться к ней 20 лет спустя. Теперь она и её коллеги создали новое, более мощное доказательство этой странной связи между теорией чисел и квантовой физикой, закрепив её как нечто глубокое и истинное.
Попутно Чиу и Хоулетт отправят вас в путешествие, в котором будут представлены графики, напоминающие крылья бабочек, калькулятор по имени Румпельштильцхен и восхитительная книга Дугласа Хофштадтера «Гёдель, Эшер, Бах».
Спустя годы после преждевременной смерти гениальной математики её идеи обретают новую жизнь.
Математика не существует в вакууме. На неё влияют философские концепции и, в конечном счёте, люди. Иногда на сцену выходят революционеры, определяющие образ мышления математиков в той или иной области на протяжении поколений.
Одной из таких революционерок была Марьям Мирзахани. Будучи аспиранткой, она преобразила область гиперболической геометрии, разработав новаторские методы для понимания поразительных поверхностей, встречающихся в математике и физике. Она стала первой женщиной, получившей Филдсовскую премию, отчасти за эту работу. Но она умерла в возрасте 40 лет, не успев в полной мере изучить последствия этих открытий.
Ранее в этом году Хоулетт исследовала ее наследие — и то, как две другие математики, Налини Анантараман и Лаура Монк, подхватили ее работу, стремясь лучше понять мир гиперболических поверхностей. Хоулетт мастерски переплетает истории этих трех женщин и исследования, которые объединяют их во времени и пространстве.
Стоит также отметить, что Мирзахани питала глубокую страсть к литературе и одно время мечтала стать писательницей. Анантараман получил классическое пианистическое образование и всерьез рассматривал карьеру в музыке вместо математики. И на протяжении всего этого последнего проекта Монк выступал в роли своего рода археолога, раскапывая все бумаги Мирзахани, чтобы получить глубокое понимание ее творчества — и, через ее творчество, ее самой.
Математика — это в основном хаос или в основном порядок?
Я не уверен, что могу представить себе более привлекательное или романтичное математическое понятие, чем бесконечность.
Математики знают ещё с 1870-х годов, что бесконечность, мягко говоря, очень странная штука. Во-первых, она бывает самых разных форм и размеров. Множество целых чисел (0, 1, 2, 3…) имеет тот же размер, что и множество дробей, но меньше, чем множество действительных чисел. Помимо этих более привычных типов бесконечности, существует целый ряд больших бесконечностей (с забавными названиями вроде «сильная» и «сверхкомпактная»), которые практически невозможно описать.
В 1930-х годах Курт Гёдель доказал, что математическая вселенная в своей основе непознаваема целиком. Есть её части, к которым мы никогда не сможем получить доступ: целые массивы истинных утверждений, которые невозможно доказать. Но насколько близко математики могут подойти к её пониманию? Различные типы бесконечностей дают им возможность проверить свои пределы и решить, является ли математическая вселенная упорядоченной, а следовательно, чем-то, что они могут более или менее понять, или же она безнадежно хаотична.
Грегори Барбер рассказал о том, как группа математиков недавно изобрела два новых типа бесконечности, которые, по их утверждению, ведут себя не так, как можно было бы ожидать. Эта исследовательская программа более экспериментальна и противоречива, чем остальная часть математики: «Если математика — это гобелен, сшитый из традиционных предположений, с которыми все согласны, то высшие пределы бесконечности — это её потрепанные края», — пишет Барбер. Но если эти математики правы, это говорит о том, что математическая вселенная полна всевозможных тайн и чудовищ, которых мы ещё даже не видели.
Рационально или нет? На поиск ответа на этот элементарный математический вопрос ушли десятилетия.
Некоторые из моих любимых историй — это те, которые показывают, как много мы до сих пор не знаем о самых основных элементах математики. Например, математики знают, что большинство чисел иррациональны, то есть их нельзя представить в виде дроби от двух целых чисел. Но доказать это для конкретных чисел чрезвычайно сложно. Например, потребовались десятилетия, чтобы однозначно показать, что число e иррационально, и более столетия, чтобы сделать то же самое для π. И математики до сих пор не доказали, что π + e иррационально.
Подобные доказательства иррациональности встречались редко — и, по словам давнего автора Quanta Эрики Кларрайх, порой были весьма драматичными. Когда один математик объявил о своем доказательстве иррациональности определенного числа, «лекция быстро переросла в хаос», — пишет она. «Математики встретили его утверждения взрывами смеха, окликали друзей через весь зал и запускали бумажные самолетики». (Ни на одной из математических конференций, на которых я присутствовала, такого хаоса не наблюдалось.)
Кларрайх объясняет, как математики недавно разработали новые важные методы, позволившие им доказать иррациональность множества важных чисел. «После стольких лет, проведенных в поисках ответа на эти вопросы, — пишет она, — математики наконец-то начинают четко различать ряд ориентиров на одном из своих самых фундаментальных ландшафтов — числовой прямой».
Найдена первая фигура, которая не может пройти сама сквозь себя.
Раз уж мы заговорили о незнании чего-то элементарного: из другой статьи, написанной Кларрайхом в этом году, я узнал, что подавляющее большинство выпуклых многогранников (фигур с плоскими сторонами и без углублений, таких как куб, тетраэдр и додекаэдр) обладают очень странным свойством. Если взять такой многогранник, можно проделать в нем прямой туннель, через который сможет пройти другой, идентичный экземпляр многогранника. Это может показаться совершенно нелогичным, но посмотрите видео и графику в статье, чтобы увидеть, как это происходит.
Математики столетиями искали пример выпуклого многогранника, не обладающего так называемым свойством Руперта. В этом году они наконец нашли такой пример: фигуру с 90 вершинами и 152 гранями, которую первооткрыватели назвали Нопертедроном.
А вот ещё одна новость из серии «простые геометрические фигуры могут творить странные вещи» 2025 года: Элиз Каттс рассказывает историю о том, как группа математиков наконец-то создала тетраэдр, который может опираться только на одну из своих четырёх треугольных сторон. Если попытаться поместить его на любую другую сторону, он перевернётся на свою устойчивую сторону. «Я не ожидала, что появится больше работ о тетраэдрах», — сказал один из исследователей Каттс. Но в этом и заключается суть математики: всегда есть чему учиться, даже о том, что, как нам кажется, мы полностью понимаем.
Источник: www.quantamagazine.org
