Впервые названные в 1975 году, эти неправильные формы навсегда изменили математику и науку
Представьте себе дерево. Поднимаясь от земли, ствол разделяется на ветви. Проследите за каждой из этих ветвей, и они разделятся на все более мелкие ответвления. Каждое из них, в свою очередь, разделяется на веточки, затем на более мелкие веточки. Но даже по мере того, как части дерева становятся меньше, ветви и их разветвления повторяют ту же схему.
Или нарисуйте облака. У них большие пушистые формы и крошечные пушистые формы с неровными краями. Независимо от того, насколько близко или далеко вы находитесь, вы видите одни и те же формы. Идея о том, что узор повторяется во многих масштабах, распространена в природе. Они присутствуют в окружающей среде, в наших телах и даже в продуктовом магазине. Кровеносные сосуды и горные хребты демонстрируют подобные узоры. То же самое происходит и с скоплениями галактик в космосе.
Ученые, математики и даже художники уже давно используют и изучают эти типы самоповторяющихся узоров. Пятьдесят лет назад эти формы получили название фракталов.Это название придумал польско-франко-американский математик Бенуа Б. Мандельброт. Он ввел этот термин в 1975 году в своей книге. В ней он использовал это слово для описания семейства грубых, фрагментированных фигур, которые выходят за рамки обычной геометрии.
Математики описывали эти типы фигур с конца 1800-х годов. Но, дав им название, Мандельброт придал фракталам ценность. Он предложил способ их измерения и анализа. Название — от латинского fractus, что означает “сломанный” — помогло распознать порядок в сложности.
Отличительной чертой фракталов является самоподобие. Это означает, что независимо от того, насколько сильно вы увеличиваете или уменьшаете масштаб, вы обнаруживаете похожие узоры.
Возьмите снежинку. То, как усики расходятся от центра, повторяется во все меньших масштабах по мере того, как снежинка разветвляется. (Математики говорят, что снежинки и другие природные формы “похожи на фракталы”. Это потому, что структура распадается на уровне молекул и атомов. Истинный фрактал повторяется в бесконечно малых масштабах.)
Фракталы могут принимать различные формы. Они могут иметь неровные линии, зазубренные формы или сложные кривые. Они отличаются тем, что не соответствуют нашему обычному представлению о размерах. Как правило, размер объекта определяется наименьшим количеством координат, необходимых для определения любой точки внутри него. Линия является одномерной. Для определения любой заданной точки на прямой требуется только одно значение. Область, как и окружность, двумерна. Объем, например, внутри сферы, является трехмерным, или 3D-пространством.
Фракталы не совсем вписываются в эти категории. Вместо этого Мандельброт ввел математическое определение фрактальной размерности. Он характеризует шероховатость участка кривой или другой формы. Фрактальная форма, известная как снежинка Коха, например, имеет фрактальную размерность около 1,2619. Она находится где-то между линией и площадью.
<загрузка изображения="ленивое" декодирование="асинхронное" width="1030" height="343" src="https://www.snexplores.org/wp-content/uploads/sites/3/2025/12/1030_fractals_50th_koch_snowflake.png " alt="иллюстрация, показывающая контур фрактальной формы, известной как снежинка Коха" class="wp-image-218833" srcset="https://www.snexplores.org/wp-content/uploads/sites/3/2025/12/1030_fractals_50th_koch_snowflake.png 1030 Вт, https://www.snexplores.org/wp-content/uploads/sites/3/2025/12/1030_fractals_50th_koch_snowflake.png?resize=680, 226 680 Вт.,https://www.snexplores.org/wp-content/uploads/sites/3/2025/12/1030_fractals_50th_koch_snowflake.png?resize=768, 256 768 Вт, https://www.snexplores.org/wp-content/uploads/sites/3/2025/12/1030_fractals_50th_koch_snowflake.png?resize=800, 266 800 Вт" размеры="авто, (максимальная ширина: 1030 пикселей) 100 Вт, 1030 пикселей" />
Фрактальный мир
Фракталоподобные узоры повсюду. Они греются на краях облаков и скалистых гребнях гор. Мандельброт видел их повсюду. Он также заметил, что обычные геометрические формы не вписываются в эти природные неровности. “Облака — это не сферы, горы — не конусы, береговые линии — не круги”, — однажды написал Мандельброт.
Фрактальные структуры проявляются и в теле человека. Нервные клетки и кровеносные сосуды разветвляются и достигают всех частей нашего тела. “Если бы у вас не было фрактальной сети кровеносных сосудов, мы, вероятно, умирали бы каждую секунду, каждый раз, когда бьется наше сердце, потому что это очень мощный насос”, — говорит Мишель Лапидус. Он математик из Калифорнийского университета в Риверсайде. По его словам, разветвленная структура доставляет кровь туда, куда ей нужно.
Фрактальные формы также встречаются в раковых клетках и в дыхательных путях легких.
<загрузка изображения="ленивое" декодирование="асинхронное" width="680" height="335" src="https://www.snexplores.org/wp-content/uploads/sites/3/2025/12/Sept_Fractals_inline3.png " alt="две трехмерные реконструкции легких и их воздушных мешочков, показывающие характер повреждений" class="wp-image-218824" />
За последние 50 лет фракталы привели к появлению новых видов математики. Сейчас существует фрактальное исчисление и фрактальная алгебра. Но фракталы — это нечто большее, чем просто раздел математики. Их характерная грубость помогает ученым визуализировать хаос. Они могут моделировать эволюцию изменяющихся систем. Они помогают инженерам находить новые конструкции для практических устройств. Они даже вдохновляют художников и музыкантов.
В мире математики Лапидус связал фракталы с областью, называемой теорией чисел. Он и другие ученые использовали фракталы для анализа того, как простые числа распределяются вдоль числовой линии. Связанная с этим загадка, гипотеза Римана, широко рассматривается как самая важная нерешенная проблема во всей математике. Фрактальная структура, лежащая в ее основе, может когда-нибудь послужить доказательством.
Поисковик фракталов
В знак уважения к повторяющимся образцам фракталов Мандельброт часто говорил людям, что его инициал в середине, Б., означает “Бенуа Б. Мандельброт”. Таким образом, его полное имя становится “Бенуа Бенуа Б. Мандельброт Мандельброт”. А повторное написание среднего инициала приводит к «Бенуа Бенуа Бенуа Б. Мандельброт Мандельброт Мандельброт”. Независимо от того, как часто вы повторяете, вы обнаруживаете его за инициалом в середине.
<загрузка iframe="ленивый" заголовок="Бенуа Мандельброт: фракталы и искусство шероховатости" width="500" height="281" src="https://www.youtube.com/embed/ay8OMOsf6AQ?feature=oembed " frameborder="0" разрешить="акселерометр; автозапуск; запись в буфер обмена; зашифрованный носитель; гироскоп; картинка в картинке; общий доступ к веб-ресурсам" referrerpolicy="полный экран со строгим исходным кодом"
Красиво и практично
Просмотрите этот пост в Instagram
Фракталы также пронизывают общество. Мандельброт и другие ученые считают, что они могут помочь в моделировании хаотического поведения финансовых рынков. (Хотя это еще предстоит доказать) Исследователи измерили фрактальную размерность капельного рисунка на картинах художника Джексона Поллока. Даже в музыке, написанной Иоганном Себастьяном Бахом, есть фрактальное сходство с самим собой. Сочетания длинных и коротких нот повторяются в большем масштабе, в более длинных и коротких фразах.
Некоторые завораживающие фрактальные узоры сами по себе могут считаться искусством. Но они также могут привести к практическим инновациям, говорит Майкл Барнсли. “Все начинается со слов: «О, это действительно интересно, что вы можете создавать такие сложные изображения», — говорит он. “Но математики увлекаются далеко не только картинками”.
Барнсли — математик из Австралийского национального университета в Канберре. Он начал пристально изучать фракталы в 1980-х годах. Все началось с того, что он заинтересовался теорией хаоса. Это исследование того, как случайные процессы развиваются из простых, заданных исходных точек. Он заметил, что изображения часто содержат самоподобные детали. Например, то, как линия пересекает пиксель в одной части изображения, может выглядеть так же, как и в другом пикселе.
Это наблюдение вдохновило его на разработку стратегии сжатия файлов изображений. К началу 1990-х годов Microsoft начала использовать этот метод.
Фрактальные конструкции также использовались для обработки сигналов и анализа данных. Изогнутые антенны, похожие на фракталы, могут размещаться в небольших помещениях и поддерживать связь на нескольких частотах.Фракталы могут даже оказаться жизненно важными для искусственного интеллекта (ИИ). Барнсли подозревает, что, поскольку компании, занимающиеся ИИ, стремятся совершенствовать алгоритмы и архитектуры, они увидят потенциал во фрактальном дизайне.“Наш мозг в значительной степени представляет собой фракталоподобный объект”, — говорит он. Связи между нейронами подобны самоподобной ветвящейся системе. Таким образом, подобный шаблон, отмечает он, может проложить путь к “искусственному сознанию”.
