Если Вселенная — голограмма, эта давно забытая математика могла бы ее расшифровать

Прорыв 1930-х годов помогает физикам понять, как квантовые нити могут сплетаться в голографическую ткань пространства-времени. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже

Введение

Джон фон Нейман приблизился настолько близко, насколько это было возможно для человека, к воплощению платоновского идеала гения. Знаток древнегреческого языка к шести годам, венгр добился значительных успехов в математике в подростковом возрасте. Затем, будучи взрослым, он изобрел теорию игр и помог разработать атомную бомбу и современный компьютер.

Попутно, будучи молодым человеком в 1932 году, фон Нейман переписал правила квантовой механики, сформулировав странную новую теорию частиц и их флуктуирующего, вероятностного поведения на математическом языке, используемом сегодня. Затем он пошел дальше. Он разработал структуру, известную как «операторные алгебры», для описания квантовых систем более мощным, но более абстрактным способом. В отличие от его более ранних работ по квантовой теории, эта структура была трудна для понимания и не получила широкого распространения в теоретической физике. Она буквально на столетие опередила свое время.

Однако за последние несколько лет все больше физиков сдували пыль с идей фон Неймана. Его операторные алгебры теперь помогают им разобраться в самой загадочной квантовой системе: субструктуре пространства и времени.

Еще до того, как фон Нейман сделал свою работу, теории относительности Альберта Эйнштейна объединили пространство и время в четырехмерную ткань, известную как «пространство-время». Эйнштейн показал, что сила гравитации создается изгибами этой ткани. Но физики знают, что ткань не может быть всей историей. Умирающие звезды прокалывают ее, создавая сильно искривленные области, называемые черными дырами, где уравнения общей теории относительности не работают. И даже в более спокойных частях пространства-времени, когда вы увеличиваете масштаб до самых маленьких масштабов, квантовые флуктуации, кажется, разрывают ее на части.

Поэтому многие физики-теоретики полагают, что пространство-время пойдет по пути воды, металлов и многих других веществ до него; то, что кажется гладкой и простой средой, окажется состоящим из сложного набора примитивных квантовых сущностей. Десятилетиями теоретики задавались вопросом об этих сущностях и о том, как из них возникает ткань пространства-времени.

Эти физики теперь получают более глубокое понимание квантовой ткани пространства-времени. Они разрабатывают новые способы предсказания того, что происходит в экстремальных областях, где пространство-время, как мы его знаем, распадается, а также определяют условия, которые обычно позволяют ему держаться вместе. В основе прогресса лежало абстрактные исследования фон Неймана.

«Люди немного боялись этого», — сказал Энтони Сперанца, физик из Амстердамского университета. «Но, похоже, это дает вам эти алгебраические инструменты для того, чтобы увидеть, как возникает пространство-время».

Возникновение возникновения

Весной я сел на поезд до Принстона, штат Нью-Джерси, и дошел до пасторального кампуса Института перспективных исследований. Именно здесь фон Нейман разработал математику операторных алгебр, и где Альберт Эйнштейн прожил свои дни, после того как оба иммигрировали в Соединенные Штаты и присоединились к первому поколению профессоров института. Он остается крупным центром фундаментальных исследований. Моей первой остановкой был кабинет Хуана Малдасены, одного из самых уважаемых теоретиков, работающих сегодня, с выложенными мелом досками.

В 1997 году аргентинский физик впервые увидел самый известный пример того, как может возникнуть пространство-время — загадочную связь, известную как соответствие AdS/CFT. «Она дает вам явную модель возникающего пространства-времени», — сказал мне Малдасена.

Переписка представляет собой поразительный квантовый заговор.

Чтобы понять, как это работает, представьте, что у вас есть двумерный лист металла, завернутый в сферу, как полый алюминиевый шар (он остается двумерным в том смысле, что вы можете определить на нем любую точку по долготе и широте). Лист содержит квантовые частицы, которые можно рассматривать как крошечные ряби в среде, известной как квантовые поля. Эти поля и их ряби подчиняются сложным, но хорошо проверенным математическим правилам, известным как квантовая теория поля. В этом случае рябь следует симметричной теории, известной как конформная теория поля или CFT.

Большой сюрприз, который Малдасена и другие теперь исследовали в тысячах статей, заключается в том, что эта двумерная поверхность математически эквивалентна или «дуальна» трехмерному объему, который она охватывает, называемому балком. Дуальность порождает целую игрушечную вселенную. Некоторые наборы ряби на границе 2D могут представлять собой, например, трехмерную звезду в балке, а другие — планету балка.

Балковая вселенная отличается от нашей тем, что ее пространство имеет изначально отрицательную энергию, что делает ее «анти-де-Ситтеровским» или AdS-пространством. Но в остальном она очень похожа на наш дом; это податливая пространственно-временная ткань, изгибы которой создают гравитацию. Соответствие AdS/CFT открывает заманчивую возможность того, что физики могли бы обойти физику, которую они не понимают (квантовую гравитацию в балке), используя только физику, которую они понимают (квантовую теорию поля).

«Это говорит о том, что гравитация не является чем-то отдельным от обычной квантовой теории», — сказала Джозефин Су, физик из Корейского передового института науки и технологий. «Это говорит о том, что гравитация — это просто другое описание квантовой теории».

«Голографическая дуальность» Малдасены связала CFT на границе более низкого измерения с пространством-временем AdS в балке. Но его работа не уточняла, какие именно узоры квантовой ряби на границе будут представлять, скажем, звезду в балке, а какие сожмут пространство-время в черную дыру. Поэтому в течение следующих десятилетий исследователи разрабатывали все более сложные способы сделать это. Эти методы, которые включают мощную математику, называемую тензорными сетями, и квантовые коды исправления ошибок, сводятся, очень грубо, к выстукиванию узоров ряби в граничной сфере, которые соответствуют измерениям в определенных местах в балке.

Никто не знает, является ли пространственно-временная ткань нашей реальной вселенной голографической. Одной из удобных особенностей пространства AdS с отрицательной энергией является то, что у него есть пространственная граница для существования этих квантовых рябей; у нашей вселенной ее нет. Но соответствие AdS/CFT дает игрушечную модель для исследования такого рода возникновения пространства-времени.

«AdS/CFT — это безумное предложение, которое должно быть глупым», — сказал Джефф Пенингтон, физик из Калифорнийского университета в Беркли, изучающий голографию. «Но затем вы пробуете все эти вещи, и все в итоге оказывается последовательным».

Но голография пока не может рассказать физикам то, что они больше всего хотят знать: что происходит глубоко внутри черной дыры в точке, известной как сингулярность, где уравнения Эйнштейна терпят неудачу и гладкая ткань пространства-времени разрушается? Какие странные явления мог бы наблюдать астронавт — или датчик — при приближении к этой сингулярности? Теоретики знают, как выстукивать граничные ряби для измерения за пределами черной дыры, но они все еще не знают ритма, соответствующего отправке зонда в дыру и получению его показаний. Сегодня это эзотерические вопросы, но многие голографы стремятся когда-нибудь запрограммировать такие ряби в будущих квантовых компьютерах и смоделировать разрушение ткани пространства-времени Эйнштейна.

«Если вы захотите смоделировать черную дыру на квантовом компьютере через 60 лет, какой вопрос вы зададите?» — сказал Джонатан Сорс, физик из Массачусетского технологического института. «Я даже не могу сказать вам, какие вычисления делать».

Чтобы выяснить это, физики пытаются выяснить, чем занимался гений фон Нейман почти столетие назад.

Идеальное пространство-время, бесконечная запутанность

В 2020 году Хун Лю, физик из Массачусетского технологического института, ломал голову именно над этой проблемой. Слепое пятно глубоко внутри черной дыры мучило его. Он особенно задавался вопросом, какой набор граничных рябей будет имитировать течение времени внутри черной дыры — тиканье часов на борту прилетевшего космического корабля.

«Это время очень загадочно», — сказал мне Лю во время визита в его офис, где наклонная башня из желтых блокнотов на его столе грозила подвергнуться прозаическому виду гравитационного коллапса. «Как можно использовать эту границу для описания времени, идущего внутри горизонта [черной дыры]?»

Для исследования Лю и его студент Сэм Лойтхойссер создали черную дыру в самом чистом пространстве-времени, которое они могли себе представить. В голографии, чем больше ряби полей на границе, тем больше объем напоминает ткань Эйнштейна — гладкую и непрерывную. Реальное пространство-время (как и все остальное в природе) должно испытывать квантовые флуктуации, которые размывают понятия «здесь» и «там». Понимание гладкого, идеализированного пространства-времени в первую очередь может служить своего рода разминочной проблемой для понимания реальной, квантово-механически флуктуирующей ткани, описываемой квантовой теорией гравитации.

Лю и Лойтхойссер задались вопросом, что именно изменится, когда граничные поля станут бесконечно многочисленными — что будет соответствовать умирающему вздоху последней квантовой флуктуации объемного пространства-времени. «Какая математическая и физическая структура необходима для возникновения всего этого пространства-времени?» — спросил Лю.

Но больше полей означало больше проблем. Рябь (то есть частицы) в этих полях может зависеть друг от друга через внутренне квантовую связь, известную как запутанность. Когда две частицы сильно запутаны, измерение их ориентаций покажет, что они всегда указывают в противоположных направлениях. Аналогично, то, как поле рябит в определенной точке, может зависеть от далекой ряби в каком-то другом поле.

Поскольку Лю и Лойтхойссер хотели описать идеально гладкую черную дыру в безупречном пространстве-времени, им нужно было иметь бесконечное количество квантовых полей на границе. Но это создавало проблемы. Любая область границы имела бы бесконечное количество запутанности, поскольку квантовые ряби в этом участке были бы запутаны с бесконечностью ряби вне его. Из-за этого привычные голографические инструменты стали бесполезными. Чтобы понять переход от флуктуирующего к гладкому пространству-времени, дуэту нужно было разобраться с этой новой бесконечностью.

«Вы действительно хотите найти какой-то внутренний способ описания этого бесконечного количества запутанности», — сказал Лю. «Удивительно, но оказывается, что некоторые работы фон Неймана начала 1930-х годов являются идеальным инструментом для этого».

Важность неопределенности

К 1932 году 29-летний фон Нейман заново изобрел математический язык зарождающейся квантовой механики. Глаголы, которые склеивали его новую грамматику, были физическими действиями — например, измерением положения частицы, или ее перемещением, или переворачиванием ее вверх дном. Перечислив эти операции и правила их объединения для создания новых операций, можно было охватить каждую физическую грань любой квантовой системы, от атома водорода до солнечной системы.

Эти списки известны как операторные алгебры. Они представляют собой подробный учет всего, что может произойти внутри заданной области, когда вы ничего не знаете об остальной части вселенной за ее пределами.

Фон Нейман и его коллега Фрэнсис Мюррей в конечном итоге выделили три типа операторных алгебр. Каждая из них применяется к разным видам физических систем. Системы классифицируются по двум физическим величинам: запутанности и свойству, называемому энтропией.

Физики впервые обнаружили энтропию, изучая паровые двигатели в 1800-х годах. Позже они пришли к пониманию ее как меры неопределенности. Например, вы можете знать температуру газа, но вы будете оставаться неуверенными относительно конкретных местоположений всех его молекул. Энтропия подсчитывает, сколько возможных состояний положений и траекторий молекул может быть. Аналогично, в квантовых системах энтропия также является мерой вашего невежества. Она говорит вам, к какому объему информации вы не можете получить доступ из-за запутанности между вашей квантовой системой и внешним миром.

Алгебры фон Неймана определяют, какой тип запутанности имеет система, и, соответственно, насколько хорошо вы можете ее познать.

Алгебры типа I являются самыми простыми. Они описывают системы с конечным числом частей, которые могут быть полностью отделены от остальной части вселенной. Так что если части системы действительно запутываются с внешним миром, вы можете точно сказать, насколько они это сделали. Их энтропия — ваше невежество — ограничена. Вы всегда можете точно рассчитать, чему она равна. Сорс сравнивает такие алгебры с мензуркой, в которой уровень воды представляет энтропию. Вы можете видеть дно, поэтому вы знаете высоту воды.

Алгебры типа II сложнее. Они описывают системы, которые имеют бесконечное число частей, все из которых неразрывно связаны с внешним миром. Абсолютная энтропия бесконечна — и, следовательно, бессмысленна. Но система имеет некоторую однородность, которая дает вам точку отсчета. Части могут быть настолько связаны с внешним миром, насколько это вообще возможно, например. Затем, если вы распутаете пять частиц, вы знаете, что запутанность уменьшилась на пять единиц. Абсолютное количество неопределенности неизвестно, но вы немного менее неопределенны, чем раньше; на пять единиц меньше, если быть точным. Вы не можете видеть дно стакана, но вы можете видеть, когда уровень воды поднимается или опускается.

Последний тип, тип III, является наихудшим: он описывает систему с бесконечным количеством частей, бесконечной запутанностью с внешним миром и отсутствием единообразного узора в запутанности, который помог бы вам сориентироваться. Даже изменения энтропии не познаваемы. Дно стакана слишком далеко, чтобы его увидеть, как и уровень воды над вами.

«Тип III — это нечто ужасное, и никто не хочет иметь с ними дело», — сказал Пенингтон (используя более сильные выражения, чем «нечто ужасное»).

Когда фон Нейман и Мюррей впервые столкнулись с алгебрами типа III, они сочли их слишком чуждыми для понимания. Природа этих алгебр оставалась загадочной более трех десятилетий, пока французский математик Ален Конн не сумел определить их в 1973 году. Этот подвиг принес Конну медаль Филдса, высшую награду в математике. Он определил, что то, что отличало алгебры типа III, было связано с пугающе техническим свойством, называемым модулярным потоком.

Грубо говоря, модульный поток напоминает поток времени, но он более абстрактный. Это физический процесс, который берет систему при определенной температуре и поддерживает ее при этой температуре. Чашка чая комнатной температуры естественным образом испытывает модульный поток (и нормальное физическое время), поскольку она остается при комнатной температуре. Но для чашки горячего чая модульный поток — это последовательность операций, необходимых для того, чтобы она оставалась вечно горячей. Это не то, что когда-либо произойдет естественным образом, поскольку требует постоянной игры со всеми атомами чая, но это процесс, который можно определить математически. Конн понял, что алгебра типа III описывает систему, настолько запутанную со своим окружением, что модульный поток системы также становится неотделимым от того, что происходит снаружи.

Математики — и несколько бесстрашных физиков — продолжали изучать алгебры фон Неймана и их модулярные потоки. Но только в последние несколько лет исследователи квантовой гравитации смогли оценить их силу.

Алгебра пришельцев

Когда Лю и Лойтхойссер пытались понять, что происходит внутри черной дыры, они поместили ее в идеально гладкое объемное пространство-время. Они знали, что флуктуирующее квантовое пространство-время соответствует конечному числу запутанных полей на границе и теории типа I. Но когда они добавили поля к границе, чтобы гарантировать, что пространство-время стало гладким, они увидели, что алгебра изменилась с типа I на тип III. Другими словами, чем больше было полей и чем больше запутанности, тем ближе пространство-время вело себя к своей идеализированной классической версии.

Затем они использовали безнадежно запутанный модульный поток алгебры типа III, чтобы заглянуть внутрь черной дыры, таящейся в их объеме. Начав с простого узора граничных рябей, который, как они знали, имитировал измерительное устройство снаружи черной дыры, они утверждали, что определенная процедура, включающая модульный поток типа III, перенесет устройство внутрь дыры, где оно сможет измерить течение времени. Этот процесс достиг цели Лю — определить, какой сложный узор граничных рябей эквивалентен тикающим часам внутри голографической черной дыры.

«Эти новые структуры дают вам дополнительное время», — сказал Лю.

Они были не единственными физиками, заново открывшими алгебры фон Неймана. Другие группы также использовали модульный поток для понимания черных дыр. Например, предложение 2017 года заключалось в том, чтобы поместить измерительное устройство внутрь черной дыры и перемешать его таким образом, чтобы оно оказалось снаружи. А в 2020 году исследователи представили, как запустить маленькую черную дыру в большую и использовать модульный поток маленькой черной дыры, чтобы вытащить ее обратно.

Сорс, работавший над другой процедурой модульного потока этой весной, говорит, что все эти алгоритмы стремятся к одной цели: понять, как квантовые частицы будут вести себя вблизи сингулярности. Сингулярность будет существовать в пространстве AdS, а не в реалистичной вселенной, но большинство голографов ожидают, что все ткани пространства-времени должны изнашиваться схожим образом. (Физики, не входящие в сообщество голографов, подвергают это предположение сомнению.) «Если бы вы могли понять сингулярности в пространстве AdS на квантовом уровне, вы были бы очень счастливы объявить о победе в понимании их в нашей вселенной», — сказал Сорс.

Лю и Лойтхойссер пролили свет на то, что было чем-то вроде захолустья математической физики. «До статьи Хонга, — сказал Эллиот Гесто, математический физик из Калифорнийского технологического института, — это было похоже на сон. Было предчувствие, что это должно быть важно, но было непонятно, как сделать эту интуицию точной».

Но, возможно, более значимый поворотный момент наступил, когда в статье 2022 года была использована алгебраическая перспектива Лю и Лойтхойссера, чтобы сделать скромный шаг от AdS/CFT к нашей вселенной без границ. Ее автором был Эдвард Виттен, возможно, самый почитаемый из ныне живущих физиков-теоретиков и единственный, кто когда-либо получал медаль Филдса.

«Вот тогда я очень заинтересовался», — сказал Пенингтон.

Голография без ограничений

Виттен сделал неожиданное открытие. Он начал с голографической черной дыры Лю и Лойтхойссера — идеализированной модели гладкого пространства-времени без дрожаний и квантовой гравитации. Затем он подправил граничные поля, чтобы позволить чрезвычайно слабым квантовым колебаниям проникать в объемное пространство-время. Изменение растворило алгебру типа III, которую видели Лю и Лойтхойссер, в алгебре типа II, что позволило вычислить изменения энтропии (хотя и не самой энтропии — уровень воды стал виден, но не дно стакана). «Это полностью изменило алгебру», — сказал Сперанца. «Это было похоже на фазовый переход».

Исследователи заметили, что открытие Виттена не слишком опиралось на контекст AdS/CFT; алгебра типа II казалась свойством любой черной дыры, испытывающей легкие толчки от присутствия материи. Поэтому Пенингтон связался с Виттеном, и вместе с Венкатесой Чандрасекараном они приступили к выводу его расчетов из контекста AdS.

Их работа предполагает, что слегка квантовая теория черной дыры в любом виде пространства-времени имеет алгебру типа II. Используя этот тип алгебры для расчета того, насколько изменяется энтропия черной дыры при падении в нее материи, они обнаружили, что энтропия увеличивается на фиксированную величину, точно так же, как можно было бы ожидать, если бы черная дыра возникла из перестраиваемых частей, аналогично газу.

Сорс называет это открытие «революционным», поскольку оно перекликается с важным шагом в предыстории квантовой механики. В середине 1800-х годов физики обнаружили загадочную энтропию, связанную с эффективностью паровых двигателей, но они не были уверены, что она означает. Затем, ближе к концу века, Джозайя Гиббс и Людвиг Больцман разработали способ расчета роста энтропии — например, при расширении газа — что укрепило их подозрение, что газы должны состоять из чего-то вроде атомов. Эта работа подготовила почву для квантовой механики, чтобы объяснить энтропию газа с точки зрения его атомов в 1900-х годах.

Для черных дыр аналогичная история восходит к 1970-м годам, когда Джейкоб Бекенштейн и Стивен Хокинг сделали первый шаг к открытию того, что эти сущности имеют энтропию. Физики восприняли это так, что искаженная пространственно-временная ткань черной дыры может состоять из атомоподобных частей, как и газ. Теперь Виттен и его коллеги сделали для черных дыр то, что Гиббс и Больцман сделали для газов: выяснили, как сравнить энтропии двух разных состояний черной дыры. Это более конкретный намек на то, что их энтропии действительно отражают их микроскопические части.

Алгебраический расчет черной дыры более строго подтверждает еще одно сообщение из работы Хокинга и Бекенштейна: энтропия увеличивается пропорционально растущей площади поверхности черной дыры. Это открытие указывает на то, что трехмерную черную дыру можно описать в терминах атомоподобных частей, выстроенных на ее двухмерной сферической поверхности. Это одна из первоначальных подсказок, которая направила физиков по дороге к голографии задолго до работы Малдасены, теперь заново открытой исключительно из алгебры плоского пространства-времени с умеренными квантовыми флуктуациями.

«Это можно рассматривать как аргумент в пользу того, что любая теория квантовой гравитации должна быть голографической», — сказал Пенингтон.

Увеличение и уменьшение масштаба

И исследователи, прокладывающие себе путь в черные дыры, и те, кто вычисляет энтропию извне, используют алгебры фон Неймана, чтобы на цыпочках приблизиться к конечной цели: теории любого пространства-времени, которая может одинаково справляться как с умеренными, так и с сильными квантовыми гравитационными эффектами. Такая теория раскрыла бы, что именно происходит вблизи сингулярностей, когда пространство-время становится слишком изношенным, чтобы управлять частицами обычным образом.

Традиционный подход к пониманию пространства-времени и гравитации заключается в том, чтобы постулировать природу реальности в крошечных масштабах — частицы? квантовые волны? струны энергии? — и уменьшить масштаб, чтобы увидеть, соответствует ли он нашему миру. Голографы пытаются инвертировать этот подход: они начинают с ткани пространства-времени, о существовании которой они знают, и пытаются увеличить масштаб настолько, насколько это возможно.

Работа фон Неймана, которая наметила то, что Сорс называет «вселенной разрешенной математики» для квантовых теорий, направляет исследователей, когда они разбирают ткань Эйнштейна и смотрят, с какими видами квантовых нитей она может согласовываться. Результаты продолжают давнюю тенденцию, что нити выглядят голографическими; их можно описать в 2D или в 3D. Теперь исследователи стремятся узнать больше.

«Я чувствую, что дверь широко открыта для нас, чтобы исследовать», — сказал Лю. «Я нахожу эти алгебраические способы очень мощными».

Выходя из офиса Малдасены в Институте перспективных исследований, я спросил, изменило ли изучение голографического пространства-времени то, как он видит мир в своей повседневной жизни. Смеясь, он сказал, что, когда он ходит по кампусу, он иногда задается вопросом, не перемещается ли он на самом деле из одного участка запутанных квантовых полей в другой.

Когда я шел обратно к железнодорожной станции Принстона, я пытался — довольно безуспешно — визуализировать, как небытие пространства может возникнуть, в стиле голограммы, из квантовых рябей. Я заметил на Google Maps, что короткий крюк приведет меня к местной достопримечательности, дому, в котором жил Эйнштейн после того, как он переехал в институт в 1933 году, вскоре после прибытия фон Неймана. Эйнштейн провел следующие два десятилетия в поисках теории, которая объединила бы его описание пространства-времени с квантовыми силами, вплоть до дня его смерти в 1955 году.

Ему это не удалось. И он, вероятно, не подозревал, что его жизненный поиск каким-либо образом связан с алгеброй его коллеги фон Неймана, который покинул наше пространство-время через два года после Эйнштейна, в возрасте 53 лет. Учитывая, на какие запутанные пути пошли физики, пытаясь связать работу обоих гениев, возможно, это неудивительно. Если секреты пространства-времени действительно зарыты в рябь сильно запутанных квантовых полей, то они глубоко, глубоко спрятаны.

Источник: www.quantamagazine.org