Две извилистые фигуры разрешают многовековую топологическую загадку.

В задаче Боннета рассматривается вопрос о том, когда даже небольшого количества информации достаточно для однозначной идентификации всей поверхности. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже

Введение

Представьте, что наше небо всегда было бы покрыто толстым слоем непрозрачных облаков. Не имея возможности увидеть звезды или рассмотреть нашу планету сверху, узнали бы мы когда-нибудь, что Земля круглая?

Ответ — да. Измеряя определённые расстояния и углы на поверхности Земли, мы можем определить, что Земля — это сфера, а не, скажем, плоская или кольцеобразная фигура, — даже без спутникового снимка.

Математики обнаружили, что это часто справедливо и для двумерных поверхностей в более общем случае: относительно небольшого количества локальной информации о поверхности достаточно, чтобы определить её общую форму. Часть однозначно определяет целое.

Однако в некоторых исключительных случаях эта ограниченная локальная информация может описывать более чем одну поверхность. Математики потратили последние 150 лет на каталогизацию этих исключений: случаев, когда локальные измерения, обычно определяющие только одну поверхность, на самом деле описывают более чем одну. Но единственными исключениями, которые им удалось найти, были не красивые, замкнутые поверхности, такие как шары или пончики, — вместо этого они простирались бесконечно в каком-либо направлении или имели края, с которых можно было упасть.

Никто не мог найти замкнутую поверхность, нарушающую это правило. Начало казаться, что таких поверхностей просто не существует. Возможно, такие поверхности всегда можно однозначно определить с помощью обычной локальной информации.

Теперь математики наконец-то обнаружили одно из тех долгожданных исключений. В статье, опубликованной в октябре, три исследователя — Александр Бобенко из Берлинского технического университета, Тим Хоффманн из Мюнхенского технического университета и Эндрю Сагеман-Фурнас из Университета штата Северная Каролина — описывают пару очень извилистых, замкнутых поверхностей, которые, несмотря на одинаковую локальную информацию, имеют совершенно разные глобальные структуры.

На их поиски ушли годы кропотливой работы, несколько сильно перегревшихся ноутбуков и неожиданная подсказка из, казалось бы, совершенно не связанной с этим области геометрии.

Геометрические несоответствия

У математиков есть множество способов локального описания поверхности, но два из них особенно полезны.

Один из способов — получить информацию о «внешней» кривизне поверхности. Выберите точку на поверхности. В этой точке существует бесконечно много направлений, в которых можно рассчитать, насколько быстро поверхность изгибается в пространстве — то, что называется её кривизной. Сосредоточьтесь только на направлениях, где вы получаете наибольшие и наименьшие значения кривизны, а затем возьмите среднее значение этих двух величин. Полученное число называется средней кривизной. Вы можете вычислить среднюю кривизну для любой заданной точки на поверхности, чтобы лучше понять её положение в окружающем пространстве.

Другой вид измерения фиксирует информацию о «внутренней» кривизне поверхности — геометрическом свойстве, которое не зависит от пространства, в котором находится поверхность. Рассмотрим плоский лист бумаги. Его можно свернуть в цилиндрическую трубку, не растягивая и не разрывая. Если две точки соединены кривой на листе бумаги, то эта кривая будет иметь одинаковую длину на цилиндре. Это означает, что лист бумаги и цилиндр имеют одинаковую «метрику», или понятие расстояния. Но попробуйте обернуть лист бумаги вокруг сферы, и это уже не так. Вам придется растягивать, разрезать или сминать бумагу, и длины кривых между точками изменятся. Следовательно, две поверхности будут иметь разные метрики.

В 1867 году французский математик Пьер Оссиан Бонне показал, что если известны метрика и средняя кривизна в каждой точке поверхности, этого достаточно, чтобы определить, что это за поверхность. В большинстве случаев.

Но «большая часть времени» — это не «всегда», и именно такие оговорки раздражают математиков.

За 150 лет, прошедших с момента доказательства Бонне, математики обнаружили различные типы поверхностей, которые противоречат его эмпирическому правилу. Эти поверхности имеют одинаковую метрику и среднюю кривизну, но при этом не обладают одинаковой глобальной структурой.

Но все эти поверхности математики называют некомпактными. Они не сворачиваются так же плавно, как сферы, пончики и другие «компактные» поверхности. Скорее, некомпактная поверхность может бесконечно простираться в каком-либо направлении (как плоскость или цилиндр) или иметь края там, где она внезапно обрывается (как кусок, вырезанный из большей фигуры).

Компактные поверхности более ограничены. Для того чтобы закрутиться и идеально замкнуться, они должны удовлетворять различным условиям. Поэтому казалось разумным предположить, что их можно однозначно определить по метрике и средней кривизне. В 1981 году математики Блейн Лоусон и Ренато де Азеведо Трибузи доказали, что это справедливо для сферы и любых топологически эквивалентных ей поверхностей — то есть любых компактных поверхностей, не имеющих отверстий.

Когда речь зашла о компактных поверхностях с отверстием (топологических бубликах, называемых тори), здесь было немного больше свободы действий. Математики показали, что заданная метрика и средняя кривизна могут соответствовать не более чем двум различным торам.

Однако никто не смог найти примеры таких «компактных пар Бонне», и поэтому на протяжении десятилетий преобладало мнение, что торы подобны сферам, и что заданная метрика и средняя кривизна определяют единый тор. «Люди долгое время так считали, — говорит Роберт Брайант из Университета Дьюка, — потому что не могли построить никаких примеров».

Но они ошибались.

Пиксельный мир

Александр Бобенко последние 20 лет посвятил решению математических задач. В 2000-х годах он пытался доказать существование компактных пар Бонне. Но, поняв, что на решение этой проблемы ему потребуется больше нескольких месяцев, он отложил её, чтобы сосредоточиться на вопросах, в решении которых, по его мнению, он сможет добиться более быстрого прогресса.

Он обратился к области математики, которая, казалось, не имела отношения к проблеме Бонне. Но именно эта область в конечном итоге оказалась ключом к её решению.

Бобенко начал размышлять о «дискретных» поверхностях, которые чем-то похожи на пикселированные версии гладких поверхностей с низким разрешением. Математики изучают дискретные поверхности, потому что они обладают важными геометрическими свойствами сами по себе, а также находят практическое применение в информатике, физике, технике и других областях.

Чтобы получить дискретную поверхность, возьмите конечный набор точек и соедините их линиями, чтобы образовать фигуру с плоскими гранями. Выбирая разные точки, вы можете представить заданную гладкую поверхность различными способами. Вот несколько примеров того, как можно представить, например, сферу:

Некоторые дискретные поверхности лучше подходят для представления геометрических особенностей гладких поверхностей, чем другие. Бобенко и его постоянный соавтор Тим Хоффманн посвятили почти два десятилетия разработке теории сохранения наиболее важных геометрических особенностей гладких поверхностей с помощью дискретных поверхностей.

В 2010-х годах к этому проекту присоединился Эндрю Сагеман-Фурнас, тогда аспирант Гёттингенского университета, и вновь поднял проблему Бонне.

Сагеман-Фурнас увлекся дискретной математикой благодаря своему интересу к механике тканых материалов, таких как рыболовные сети, которые по сути являются дискретными поверхностями. В процессе работы он задал дискретную версию вопроса Бонне: когда локальная информация однозначно определяет дискретную поверхность, а когда нет? Адаптировав известный метод генерации исключений из правила Бонне, Сагеман-Фурнас вместе со своим научным руководителем Максом Вардецким и Хоффманом нашли способ создания исключений в дискретном случае.

Как и в случае гладких поверхностей, эти исключения всегда были некомпактными. Но поскольку дискретные поверхности не содержат бесконечно много точек, их можно изучать с помощью компьютеров. Сагеман-Фурнас задался вопросом: возможно ли с помощью вычислительных методов полного перебора найти компактную пару Бонне в мире дискретной геометрии? Если да, то, возможно, дискретный случай также может привести к гладкому решению.

И вот он присоединился к Бобенко и Хоффману в Берлине в качестве постдокторанта в группе Бобенко и приступил к работе.

Поверхностное сафари

Весной 2018 года Сагеман-Фурнас начал компьютерный поиск особого типа поверхности — такой, которую можно было бы преобразовать в пару Боннетов, подобно тому, как закваска служит основой для взбивания различных видов хлеба. Эта «стартовая» поверхность была бы похожа на те, которые он использовал для создания отдельных пар Боннетов, будучи аспирантом. За исключением того, что на этот раз ему требовалась тороидальная поверхность. То есть, она должна была быть компактной и иметь одно или несколько отверстий.

Он исчез на несколько недель, если не месяцев, вспоминал Хоффманн. Когда молодой математик наконец появился, он нашел то, что искал: очень заостренную форму, которая больше походила на оригами-носорога, чем на тор.

Но это был тор. И, согласно компьютерной программе Сагемана-Фурнаса, он обладал всеми остальными свойствами, необходимыми для исходной поверхности, которая могла бы генерировать пары Боннета. Что еще важнее, когда Сагеман-Фурнас генерировал эти пары на своем компьютере, они также оказывались торами. Преобразования от носорога к паре Боннета, похоже, не превращали носорога в некомпактные поверхности. Поверхности оставались компактными.

«Когда вы начинаете заниматься вычислительными исследованиями и проектированием, — сказала Сагеман-Фурнас, — вы можете получить новые примеры, которые намного превосходят то, что вы считали возможным».

Но не слишком ли это хорошо, чтобы быть правдой? Компьютерные программы допускают ошибки округления: носорог Сагемана-Фурнаса может казаться соответствующим желаемым критериям, а сгенерированная им пара Бонне может казаться тором, но всё это может быть миражем, артефактом небольших вычислительных ошибок. Без строгого доказательства математики не могли быть уверены.

«Он появился и показал нам какой-то странный геометрический объект, который действительно выглядел как какая-то бессмыслица из цифр», — сказал Хоффманн. «В шутку скажу, что, пожалуй, мой самый ценный вклад во весь проект заключался в том, что тогда я сказал: „Бывало и хуже“».

Потребовалось некоторое время, но Хоффманн и Сагеман-Фурнас в конце концов убедили себя, что носорог заслуживает серьезного внимания. И если удалось найти такой вероятный пример дискретной пары торусов Боннета, возможно, случай с гладкими торусами не так уж и безнадежен. Хоффманн и Сагеман-Фурнас провели то знойное лето, изучая носорога в поисках подсказок, иногда проводя в видеочатах от восьми до двенадцати часов подряд, ища необычные свойства и геометрические ограничения, которые могли бы помочь им сузить круг поиска гладких торусов Боннета.

С наступлением сентября они наконец обнаружили новую зацепку, которая показалась настолько многообещающей, что Бобенко вернулся к проблеме, от которой он отказался десятилетия назад.

Замкнутые контуры

Подсказка заключалась в определенных линиях, которые огибают носорога по его краям.

Было уже известно, что эти линии предоставляют важную информацию о кривизне тела носорога — они показывают направления, в которых он изгибался и складывался сильнее и слабее всего. Поскольку носорог представляет собой двумерную поверхность, существующую в трехмерном пространстве, математики ожидали, что эти линии будут прокладывать пути и в трехмерном пространстве. Но вместо этого они всегда лежали либо в плоскости, либо на сфере. Крайне маловероятно, что такое расположение линий произошло случайно.

«Это навело нас на мысль, что происходит нечто действительно особенное», — сказала Сагеман-Фурнас. Это было «захватывающе».

В отличие от дискретных поверхностей, гладкие поверхности не имеют рёбер. Но всё же можно нарисовать «линии кривизны», которые описывают пути максимального и минимального изгиба. Сагеман-Фурнас, Бобенко и Хоффман решили поискать гладкий аналог носорога, линии кривизны которого были бы аналогичным образом ограничены условиями жизни на плоскостях или сферах. Возможно, исходная поверхность с такими свойствами могла бы породить гладкие торы Бонне.

Но было неясно, существовала ли такая поверхность вообще.

Тогда Бобенко понял, что более века назад французский математик Жан-Гастон Дарбу практически точно сформулировал то, что сейчас необходимо математикам.

Дарбу разработал формулы для генерации поверхностей с нужными типами линий кривизны. Проблема заключалась в том, что его формулы не позволяли получить линии кривизны, замыкающиеся сами на себя. Вместо этого они «выглядели как спирали и уходили в бесконечность», — сказал Бобенко. «Нет никакой возможности замкнуть их». Это означало, что хотя линии кривизны могли располагаться на плоскостях и сферах, общая поверхность не представляла собой тор.

После долгих лет кропотливой работы математики, используя сочетание письменных методов и вычислительных экспериментов, выяснили, как скорректировать формулы Дарбу таким образом, чтобы линии кривизны замыкались. Наконец, они нашли свой гладкий аналог носорога (хотя внешне они были не очень похожи).

Более того, как они и надеялись, этот гладкий носорог смог создать пару новых торов, имеющих одинаковую среднюю кривизну и метрические данные, но различную общую структуру. Команда наконец-то нашла ответ на первоначальную проблему Бонне: в конце концов, некоторые торы нельзя однозначно определить по их локальным характеристикам.

Но когда они выяснили, как на самом деле выглядит эта пара торусов, оказалось, что два торуса являются зеркальным отражением друг друга. «Технически это не было проблемой», — сказал Сагеман-Фурнас. «Формально это решило проблему». Но, добавил он, это все еще не удовлетворяло.

И вот в течение следующего года они пытались различными способами усовершенствовать свою гладкую поверхность носорога. В конце концов, они поняли, что если откажутся от требования, чтобы один набор линий кривизны располагался на сферах, то смогут построить новую гладкую поверхность носорога, которая будет делать то, что им нужно. Затем они использовали эту поверхность для создания новой пары поверхностей Боннета — на этот раз двух очень извилистых торов, которые представляли собой гораздо более очевидно разные поверхности, но при этом имели одинаковую метрическую и среднюю кривизну.

Результат стал неожиданностью для Роба Куснера, математика из Массачусетского университета в Амхерсте. По его словам, он демонстрирует, что даже торы — одни из самых красивых и хорошо изученных поверхностей — не всегда могут быть идеально описаны своими локальными характеристиками.

«Это пример того, как нашей интуиции оказалось недостаточно», — сказал Брайант, математик из Университета Дьюка.

Тем не менее, два тора, найденные математиками, несколько странные: они проходят сами через себя, образуя фигуры в виде восьмерок. Теперь Бобенко надеется доказать, что существуют торы Бонне, которые не пересекаются сами с собой.

Торы Бонне являются долгожданным подтверждением многолетней работы Бобенко и Хоффмана над дискретными поверхностями. Традиционно геометрия гладких форм развивалась гораздо быстрее, увлекая за собой менее развитую теорию дискретной геометрии. Но в этой работе дискретная теория стремительно продвинулась вперед и в конечном итоге сделала возможным прогресс в области гладких форм.

По мнению Хоффмана, это подчеркивает тот факт, что, хотя дискретные поверхности могут казаться менее сложными моделями по сравнению со своими гладкими аналогами, они обладают собственной математической жизнью. Дискретный мир может быть таким же богатым, как и гладкий, если не богаче, раскрывая дополнительные симметрии и связи, которые в противном случае могли бы быть утеряны.

«Люди как-то забыли об этом отдельном аспекте», — сказал Хоффманн. Но «из этого все еще можно извлечь пользу».

Источник: www.quantamagazine.org