25 августа 2025 г.
Доказательство, которое, как известно, настолько сложное, что один математик однажды предложил 10 мартини тому, кто сможет его разгадать, связывает квантовую механику с бесконечно сложными математическими структурами. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже
Введение
В 1974 году, за пять лет до написания своей книги «Гёдель, Эшер, Бах: Вечная золотая нить», удостоенной Пулитцеровской премии, Дуглас Хофштадтер был аспирантом-физиком в Университете Орегона. Когда его научный руководитель отправился в отпуск в Регенсбург, Германия, Хофштадтер поехал с ним, надеясь попрактиковаться в немецком языке. Они присоединились к группе блестящих физиков-теоретиков, которые мучительно размышляли над конкретной проблемой в квантовой теории. Им нужно было определить энергетические уровни электрона в кристаллической решетке, расположенной рядом с магнитом.
Хофстадтер был лишним, неспособным понять ход мыслей остальных. Оглядываясь назад, он рад этому. «Отчасти мне повезло, что я не мог за ними угнаться, — сказал он. — Они доказывали теоремы, но это не имело никакого отношения к сути ситуации».
Вместо этого Хофстадтер решил опробовать более приземленный подход. Вместо доказательства теорем он собирался произвести некоторые вычисления с помощью настольного калькулятора HP 9820A — похожего на компьютер устройства, которое весило почти 40 фунтов и могло быть запрограммировано для выполнения сложных вычислений.
Хофштадтеру это было необходимо для решения конкретной формулировки уравнения Шрёдингера, лежащего в основе квантовой механики. При подаче на вход определенной информации об электроне и его окружении уравнение Шрёдингера описывает, как будет вести себя электрон. В частности, его решения показывают, какой энергией может обладать электрон.
В случае, который интересовал Хофштадтера, уравнение Шрёдингера включает переменную, называемую альфа, — произведение напряженности магнитного поля и площади одного квадрата сетки. Альфа отражает информацию о силах, действующих на электрон.
Дуглас Хофстадтер — автор удостоенной Пулитцеровской премии книги «Гёдель, Эшер, Бах: Вечная золотая нить», в которой исследуется самореферентная природа математики, музыки и других дисциплин.
Группа немецких математиков знала, что когда альфа является рациональным числом — то есть целым числом или дробью — решение уравнения Шрёдингера было сложным, но возможным (при наличии достаточно большого калькулятора). Но когда альфа была иррациональным числом, то есть его нельзя было представить в виде дроби, они понятия не имели, как его решить.
Вместо того чтобы, как его коллеги, разбираться с иррациональными случаями, Хофштадтер начал с того, что ему было известно. Он запрограммировал свой калькулятор так, чтобы тот принимал рациональное значение альфа в качестве входных данных и выводил результат на рулон бумаги. Результат представлял собой разрешенные и запрещенные энергетические уровни электрона.
Каждый вечер Хофштадтер оставлял свой калькулятор работать. На следующее утро он возвращался и обнаруживал перед собой разворачивающийся свиток бумаги, на котором были указаны значения допустимой энергии для каждого рационального значения альфа, заданного им в качестве входных данных. Он склеивал несколько листов миллиметровой бумаги и, используя фломастер, начинал тщательно строить графики этих значений энергии. Этот рисунок впоследствии стал известен как «бабочка Хофштадтера» из-за сходства негативного пространства графика с узорчатыми крыльями насекомого.
Когда кристалл помещают рядом с магнитом, его электроны могут обладать лишь определённым количеством энергии. Эти значения энергии зависят от магнитного потока кристалла, который измеряет силу воздействия на электрон. В 1974 году Хофштадтер изобразил это явление на графике (вверху). Вертикальная ось представляет магнитный поток; горизонтальная ось представляет возможные значения энергии электрона. Хофштадтер заметил, что энергии образуют фрактальные узоры. Завершённый график (внизу) с тех пор получил название «бабочка Хофштадтера».
Коллеги Хофштадтера не понимали смысла его трудоемкого подхода. Они шутили, что он пытается превратить солому в золото, и стали называть свой калькулятор «Румпельштильцхен».
Даже его научный руководитель назвал это «нумерологией» и пригрозил прекратить финансирование. «Он намекал, что я суеверен и говорю ерунду, — сказал Хофстадтер. — Нахожу смысл и закономерности в числах там, где их нет».
Но бабочка, которая начала появляться на его миллиметровой бумаге, заинтриговала его. Хофштадтер заметил, что при вводе дроби допустимые значения энергии разбиваются на длинные участки запрещенных значений. По мере усложнения дроби и увеличения количества цифр в знаменателе, разрывы между возможными значениями энергии становились все более многочисленными. Значения энергии начали формировать визуально поразительный узор — фрактал, то есть меньшие его части выглядели так же, как и целое.
Его интуиция подсказывала ему, что это отражает глубокую математическую истину. «Мне было совершенно ясно, что я держу тигра за хвост», — сказал он. Он узнал тигра. Это было множество Кантора.
Множество точек названо в честь математика Георга Кантора, который популяризировал его в 1883 году, следуя простому правилу: возьмите отрезок прямой, разделите его на три равные части, затем сотрите среднюю треть. В результате у вас останутся два отрезка, разделенных промежутком. Теперь сотрите среднюю треть каждого из них, и так далее. Если повторять эту процедуру бесконечное количество раз, вы получите бесконечное множество точек, разбросанных, как пыль, вдоль числовой прямой.
Хофстадтер никогда бы не подставил иррациональное значение альфа. Иррациональные числа нельзя выразить в виде дроби — это потребовало бы бесконечного количества цифр в числителе или знаменателе, что было невозможно запрограммировать на калькулятор. Но он заметил, что по мере приближения рациональных значений альфа к иррациональному числу множество допустимых значений энергии — полосы чернил в каждой строке его рисунка бабочки — все больше и больше напоминало множество Кантора. И поэтому, предположил он, когда альфа становится иррациональным числом, возможные значения энергии образуют настоящее множество Кантора.
Несколько лет спустя два видных математика пришли к тому же выводу, но совершенно иным путем. Барри Саймон и Марк Кац изучали так называемые почти периодические функции. Результаты периодической функции, подобно синусоиде, повторяются снова и снова. Но почти периодическая функция описывает путь, который очень близок к повторению, но никогда им не повторяется.
В 1981 году Кац и Саймон встретились за обедом и обсудили ту версию уравнения Шрёдингера, которую пытались решить Хофштадтер и его коллеги. Когда альфа принимала иррациональное значение, уравнение превращалось в почти периодическую функцию. Это было именно то явление, которое они изучали. И, основываясь на своих знаниях о почти периодических функциях, Хофштадтер оказался прав: допустимые энергетические уровни должны образовывать канторовское множество, когда альфа принимает иррациональное значение.
Но Саймон и Кац тоже не смогли это доказать. Кац сказал, что купит 10 мартини любому, кто сможет. Саймон начал публиковать предложение Каца, и эта проблема стала известна как «гипотеза о десяти мартини».
Математик Марк Кац однажды предложил 10 мартини тому, кто сможет решить важную задачу в квантовой теории. Он умер в 2004 году, не успев завершить доказательство. На фотографии выше группа математиков, работавших над этой проблемой, отмечает завершение доказательства в его честь на конференции, состоявшейся в том же году.
На протяжении многих лет математики постепенно дорабатывали гипотезу, доказывая её для некоторых иррациональных значений альфа (но не для всех). Саймон объявил об одном из этих промежуточных результатов в 1982 году. Кац предложил ему три мартини. Когда Кац умер в 1984 году, проблема осталась открытой. Доказательство, достойное всех десяти мартини, появилось лишь через 20 лет.
Немного грязный
В 2003 году Светлана Житомирская, посвятившая годы изучению почти периодической функции, заложенной в уравнении Шрёдингера, как раз отказалась от своей многолетней цели — доказать гипотезу десяти мартини. Годом ранее её конкурент, Хоаким Пуиг, доказал её для всех классов иррациональных значений альфа, за исключением нескольких. Более того, он использовал методы, которые она опубликовала ранее. «Я корила себя, — сказала она. — Вся тяжёлая работа была вложена в моё доказательство, а тут он появляется с этим прекрасным аргументом».
Поэтому она была удивлена, когда к ней приехал 24-летний математик по имени Артур Авила и предложил поработать над оставшимися значениями альфа. «Я сказала ему, что это будет очень сложно, очень трудоемко, и никому это не будет интересно», — сказала она.
Люди так и сделали. Их доказательство, опубликованное в интернете в 2005 году, в конечном итоге было опубликовано в «Анналах математики», самом престижном журнале в этой области. Позже Авила получил Филдсовскую премию, в частности, за свою работу над этой проблемой.
Они решили сами выполнить договор на 10 мартини. «У нас было много праздничных напитков, включая мартини», — сказала Житомирская.
Светлана Житомирская посвятила десятилетия изучению тонких закономерностей, возникающих в результате квантового поведения электронов.
Но в некотором смысле доказательство оказалось несколько неудовлетворительным. Житомирская и Авила использовали метод, применимый только к определенным иррациональным значениям альфа. Объединив его с промежуточным доказательством, предшествовавшим ему, они могли сказать, что проблема решена. Но это объединенное доказательство не было элегантным. Оно напоминало лоскутное одеяло, каждый квадрат которого был сшит из отдельных аргументов.
Более того, доказательства лишь подтвердили первоначально сформулированное предположение, которое подразумевало упрощающие допущения об окружении электрона. Более реалистичные ситуации гораздо сложнее: атомы в твердом теле расположены в более замысловатых структурах, а магнитные поля не совсем постоянны. «Вы подтвердили это для этой одной модели, но какое это имеет отношение к реальности?» — сказал Саймон Беккер, математик из Швейцарского федерального института технологий в Цюрихе.
В более реалистичных ситуациях требуется подкорректировать ту часть уравнения Шрёдингера, где появляется альфа. И когда это делается, доказательство с помощью десяти мартини перестаёт работать. «Меня это всегда беспокоило», — сказала Житомирская.
Разрушение доказательства в этом более широком контексте также подразумевало, что прекрасные фрактальные узоры, которые возникли — множества Кантора, бабочка Хофштадтера — были не более чем математической диковинкой, чем-то, что исчезнет, как только уравнение будет приведено в более реалистичное состояние.
Авила и Житомирская перешли к другим проблемам. Даже у Хофштадтера были сомнения. Если бы в ходе эксперимента когда-нибудь увидели его бабочку, писал он в «Гёделе, Эшере, Бахе», «я был бы самым удивленным человеком на свете».
Но в 2013 году группа физиков из Колумбийского университета поймала его бабочку в лаборатории. Они поместили два тонких слоя графена в магнитное поле, а затем измерили энергетические уровни электронов графена. Квантовый фрактал проявился во всей своей красе. «Внезапно это превратилось из плода воображения математика в нечто практическое», — сказала Житомирская. «Это стало очень тревожным».
Она хотела объяснить это с помощью математики. И у нового соавтора появилась идея, как это сделать.
Ещё один раунд, с изюминкой.
В 2019 году Лингруй Ге присоединился к группе Житомирской. Его вдохновила работа, которую она и Авила проделали над проблемой десяти мартини, а также направление исследований, которое Авила пытался развивать с тех пор.
Авила устал от фрагментарных подходов, которые математики использовали для понимания почти периодических функций. Вместо этого он начал разрабатывать то, что он назвал «глобальной теорией» — способ выявления высокоуровневой структуры во всевозможных почти периодических функциях, которую он затем мог использовать для решения целых классов функций за один раз.
Лингруи Ге помог разработать новый способ понимания решений почти периодических функций — важных уравнений, встречающихся в квантовой физике.
Для этого он связал геометрический объект с заданной почти периодической функцией и изучил её свойства. Он понял, что некоторые из этих геометрических свойств могут помочь ему решить задачу с исходной функцией.
Но это работало только для определённых типов функций. Оно не могло справиться с теми типами вычислений, которые требовались в задаче о десяти мартини. Было неясно, сможет ли оно вообще когда-либо справиться с этим.
Это потому, что для доказательства гипотезы о десяти мартини математикам сначала пришлось преобразовать уравнение Шрёдингера в связанное уравнение, называемое его двойственным уравнением, а затем решить это новое уравнение. Теория Авилы ничего не могла сказать о структуре двойственного уравнения более высокого уровня.
По крайней мере, так он думал. Но Ге был заинтригован геометрическими объектами, описанными Авилой. Он подозревал, что другие свойства этих объектов скрывают еще больше информации — информации, которая могла бы пролить свет на аспекты дуального уравнения. «Я понял, что это очень красивая и важная теория», — сказал Ге.
Он и Житомирская — вместе с Цзянгуном Ю и Ци Чжоу из Нанькайского университета в Китае — разработали новый способ интерпретации геометрического объекта Авилы и его применения к двойственной системе. Это значительно укрепило теорию. Это также позволило Ге, Житомирской и Ю написать единое доказательство, которое решало различные варианты задачи о десяти мартини в разных условиях. Никакого лоскутного одеяла не потребовалось.
Результат подтверждает, что бабочка Хофштадтера — это реальное явление. Абстрактный мир теории чисел обладает огромной силой в мире физики.
С тех пор математики использовали свою версию глобальной теории Авилы для решения двух других ключевых проблем в этой области. Они предсказывают, что это только начало того, чего они смогут достичь с помощью обнаруженного ими метода. «Мы обнаружили эту скрытую тайну, стоящую за глобальной теорией, — сказал Ге. — Это было как маяк в темном море, указывающий нам правильное направление».
Исправление: 25 августа 2025 г.
В более ранней версии этой статьи утверждалось, что Авиле было 26 лет, когда он начал сотрудничать с Житомирской над задачей о десяти мартини. На самом деле ему было 24 года.
Источник: www.quantamagazine.org
