Доказательство, которое настолько сложно, что один математик однажды предложил 10 мартини тому, кто сможет его найти, использует теорию чисел для объяснения квантовых фракталов.
Иллюстрация: Вэй-Ань Цзинь для журнала QuantaСохранить эту историю Сохранить эту историю
Оригинальная версия этой истории была опубликована в журнале Quanta Magazine.
В 1974 году, за пять лет до написания удостоенной Пулитцеровской премии книги «Гёдель, Эшер, Бах: Вечная золотая коса», Дуглас Хофштадтер был аспирантом по физике в Орегонском университете. Когда его научный руководитель уехал в академический отпуск в Регенсбург, Германия, Хофштадтер поехал с ним, надеясь попрактиковаться в немецком. Они присоединились к группе блестящих физиков-теоретиков, которые мучились над одной проблемой квантовой теории. Они хотели определить энергетические уровни электрона в кристаллической решётке, расположенной вблизи магнита.
Хофштедтер был лишним, неспособным уследить за ходом мыслей остальных. Оглядываясь назад, он рад. «Мне отчасти повезло, что я не мог за ними угнаться», — сказал он. «Они доказывали теоремы, но они не имели никакого отношения к сути ситуации».
Вместо этого Хофштедтер решил попробовать более приземлённый подход. Вместо доказательства теорем он собирался выполнить вычисления на настольном калькуляторе HP 9820A — устройстве, похожем на компьютер, весом почти 18 кг, которое можно было запрограммировать на выполнение сложных вычислений.
Хофштедтеру это было необходимо для решения уравнения Шрёдингера, которое лежит в основе квантовой механики. При подаче определённой информации об электроне и его окружении в качестве входных данных уравнение Шрёдингера описывает поведение электрона. В частности, его решения показывают, сколько энергии может иметь электрон.
В случае, который интересовал Хофштедтера, уравнение Шрёдингера включает переменную альфа, которая представляет собой произведение напряжённости магнитного поля на площадь одного квадрата сетки. Альфа хранит информацию о силах, действующих на электрон.
Дуглас Хофштадтер — автор удостоенной Пулитцеровской премии книги «Гёдель, Эшер, Бах: Вечная золотая нить», в которой исследуется самореферентная природа математики, музыки и других явлений.
Фотография предоставлена Дугласом Хофштадтером.Группа немецких математиков знала, что когда альфа рациональна, то есть представляет собой либо целое число, либо дробь, решение уравнения Шрёдингера — задача не из лёгких, но вполне осуществимая (при наличии достаточно большого калькулятора). Но когда альфа иррациональна, то есть её невозможно записать в виде дроби, они понятия не имели, как это решить.
Вместо того, чтобы, как его коллеги, бороться с иррациональным случаем, Хофштедтер начал с того, что ему было известно. Он запрограммировал свой калькулятор принимать рациональное значение альфа в качестве входных данных и выводить результат на рулон бумаги. Результат представлял собой разрешённые и запрещённые уровни энергии электрона.
Каждый вечер Хофштедтер оставлял свой калькулятор жужжать. На следующее утро он возвращался к разворачивающемуся свитку бумаги, на котором были перечислены разрешённые значения энергии для каждого рационального значения альфы, заданного им в качестве входных данных. Он склеил несколько листов миллиметровки и, используя фломастер, начал тщательно чертить графики этих значений энергии. Этот рисунок впоследствии стал известен как «бабочка Хофштедтера» из-за сходства негативного пространства графика с узорчатыми крыльями насекомого.
Когда кристалл находится вблизи магнита, его электроны могут обладать лишь определённым количеством энергии. Эти значения энергии зависят от магнитного потока кристалла, который измеряет силу, действующую на электрон. В 1974 году Хофштадтер изобразил это явление графически.
Иллюстрация: предоставлена Дугласом Хофштадтером.
Завершённый граф (внизу) впоследствии был назван «бабочкой Хофштадтера».
Иллюстрация: Douglas Hofstadter CC BY SA 3.0 через Wikimedia Commons.Коллеги Хофштедтера не понимали смысла его трудоёмкого подхода. Они шутили, что он пытается превратить солому в золото, и стали называть его калькулятор «Румпельштильцхеном».
Даже его научный руководитель назвал эту работу «нумерологией» и пригрозил прекратить финансирование. «Он намекал, что я суеверен и несу чушь», — сказал Хофштедтер. «Нахожу смысл и закономерности в числах, которых на самом деле нет».
Но бабочка, которая начала появляться на его миллиметровой бумаге, заинтриговала его. Хофштедтер заметил, что при вводе дроби допустимые значения энергии разбивались длинными участками запрещённых значений. По мере усложнения дроби и увеличения количества цифр в знаменателе разрывы между возможными значениями энергии становились всё более многочисленными. Значения энергии начали формировать визуально впечатляющий узор — фрактал, то есть меньшие части дроби выглядели так же, как целое.
Чутьё подсказывало ему, что это отражает глубокую математическую истину. «Мне было совершенно ясно, что я поймал тигра за хвост», — сказал он. Он узнал тигра. Это было множество Кантора.
Множество названо в честь математика Георга Кантора, который популяризировал его в 1883 году, следуя простому правилу: возьмите отрезок, разделите его на три равные части, затем сотрите среднюю треть. В результате у вас останутся два отрезка, разделённые промежутком. Теперь сотрите среднюю треть каждого из них и так далее. Если повторить эту процедуру бесконечное число раз, получится бесконечное множество точек, разбросанных, словно пыль, по числовой оси.
Иллюстрация: Merrill Sherman/Quanta MagazineХофштедтер никогда бы не подставил иррациональное значение альфы. Иррациональные числа невозможно представить в виде дроби — для этого потребовалось бы бесконечно много цифр в числителе или знаменателе, что было бы невозможно запрограммировать на калькуляторе. Но он заметил, что по мере того, как рациональные значения альфы приближались к иррациональному числу, множество допустимых значений энергии — полоски чернил в каждой строке его рисунка с бабочкой — всё больше напоминало множество Кантора. Таким образом, он предположил, что если альфа иррациональна, возможные значения энергии образуют действительное множество Кантора.
Несколько лет спустя два выдающихся математика пришли к тому же выводу, но совершенно с другой стороны. Барри Саймон и Марк Кац изучали то, что они называли почти периодическими функциями. Выходные сигналы периодической функции, подобно синусоиде, повторяются снова и снова. Но почти периодическая функция описывает путь, который очень близок к повторению, но никогда не повторяется.
В 1981 году Кац и Саймон встретились за обедом и обсудили версию уравнения Шрёдингера, которую пытались решить Хофштадтер и его коллеги. Когда альфа была иррациональной величиной, уравнение превращалось в почти периодическую функцию. Именно это явление они и изучали. И, основываясь на своих знаниях о почти периодических функциях, Хофштадтер оказался прав: допустимые уровни энергии должны образовывать множество Кантора, когда альфа иррациональна.
Но Саймон и Кац тоже не смогли этого доказать. Кац сказал, что купит 10 мартини любому, кто сможет. Саймон начал распространять предложение Каца, и эта задача стала известна как гипотеза о 10 мартини.
Математик Марк Кац однажды предложил 10 мартини тому, кто сможет решить важную задачу в квантовой теории. Он умер до завершения доказательства в 2004 году. На фотографии выше группа математиков, работавших над этой задачей, празднует доказательство в его честь на конференции, состоявшейся в том же году.
Фотография предоставлена Майклом Айзенманом .С годами математики работали над ней, доказав гипотезу для некоторых иррациональных значений альфа (но не для всех). Саймон объявил об одном из этих промежуточных результатов в 1982 году. Кац предложил ему три мартини. После смерти Каца в 1984 году проблема осталась открытой. Доказательство, достойное всех десяти мартини, появилось лишь через 20 лет.
Просто немного грязно
В 2003 году Светлана Житомирская, посвятившая годы изучению почти периодической функции, вложенной в уравнение Шрёдингера, только что отказалась от своей давней мечты – доказать гипотезу 10-мартини. Годом ранее её конкурент по имени Жоаким Пуч доказал её для всех классов иррациональных альфа-значений, за исключением нескольких. Более того, он использовал для этого методы, которые она опубликовала ранее. «Я ругала себя», – сказала она. «Вся работа была проделана мной в доказательстве, а тут он выдаёт такой красивый аргумент».
Поэтому она была удивлена, когда 24-летний математик Артур Авила пришёл к ней и предложил поработать над оставшимися значениями альфы. «Я сказал ему, что это будет очень сложно, займёт много времени, и никому до этого не будет дела», — сказала она.
Люди так и сделали. Их доказательство, опубликованное в интернете в 2005 году, в конечном итоге было опубликовано в «Annals of Mathematics», самом престижном журнале в этой области. Позже Авила получил медаль Филдса, в том числе за работу над этой задачей.
Они решили сами выполнить условия контракта на 10 мартини. «У нас было много праздничных напитков, включая мартини», — рассказала Житомирская.
Светлана Житомирская десятилетиями изучала тонкие закономерности, возникающие в квантовом поведении электронов.
Фотография: Моника АлмейдаНо в некоторых отношениях доказательство было несколько неудовлетворительным. Житомирская и Авила использовали метод, применимый только к определённым иррациональным значениям альфа. Объединив его с промежуточным доказательством, полученным ранее, они могли сказать, что задача решена. Однако это объединённое доказательство не было элегантным. Оно напоминало лоскутное одеяло, каждый квадрат которого был сшит из отдельных аргументов.
Более того, доказательства лишь подтвердили гипотезу в её первоначальной формулировке, которая предполагала упрощающие предположения об окружении электрона. Более реалистичные ситуации сложнее: атомы в твёрдом теле расположены в более сложных структурах, а магнитные поля не вполне постоянны. «Вы подтвердили это для одной модели, но какое это имеет отношение к реальности?» — спросил Саймон Беккер, математик из Швейцарского федерального технологического института в Цюрихе.
В этих более реалистичных ситуациях требуется подправить ту часть уравнения Шрёдингера, где появляется альфа. И когда вы это делаете, доказательство «десяти мартини» перестаёт работать. «Меня это всегда беспокоило», — сказала Житомирская.
Разрушение доказательства в этих более широких контекстах также подразумевало, что возникшие прекрасные фрактальные узоры — множества Кантора, бабочка Хофштедтера — были не более чем математическим курьёзом, чем-то, что исчезнет, как только уравнение станет более реалистичным.
Авила и Житомирская перешли к другим проблемам. Даже Хофштедтер сомневался. Если бы эксперимент когда-нибудь увидел его бабочку, он написал в «Гёделе, Эшере, Бахе»: «Я был бы самым удивлённым человеком на свете».
Но в 2013 году группа физиков из Колумбийского университета поймала его бабочку в лаборатории. Они поместили два тонких слоя графена в магнитное поле, а затем измерили уровни энергии электронов графена. Квантовый фрактал проявился во всей красе. «Внезапно он превратился из плода воображения математика в нечто практическое», — сказала Житомирская. «Это стало очень тревожно».
Она хотела объяснить это с помощью математики. И у её нового коллеги появилась идея, как это сделать.
Еще один раунд, с изюминкой
В 2019 году к группе Житомирской присоединился Лингруй Гэ. Его вдохновила работа, проделанная ею и Авилой над задачей о десяти мартини, а также направление исследований, которое Авила с тех пор пыталась развивать.
Авила устал от фрагментарных подходов, которые математики использовали для понимания почти периодических функций. Вместо этого он начал разрабатывать то, что он назвал «глобальной теорией» — способ выявления высокоуровневой структуры во всех видах почти периодических функций, который он затем мог бы использовать для решения целых классов функций за один раз.
Лингруй Ге помог разработать новый подход к пониманию решений почти периодических функций — важных уравнений квантовой физики.
Фотография предоставлена Лингруй Ге.Для этого он связал геометрический объект с заданной почти периодической функцией и изучил её свойства. Он понял, что некоторые из этих геометрических свойств могут помочь ему найти исходную функцию.
Но он работал только с определёнными типами функций. Он не мог справиться с теми типами вычислений, которые требовала задача о 10 мартини. Было неясно, сможет ли он вообще когда-либо это сделать.
Это связано с тем, что для доказательства гипотезы 10-мартини математикам пришлось сначала преобразовать уравнение Шрёдингера в родственное ему уравнение, называемое его дуальным, а затем решить это новое уравнение. Теория Авилы ничего не могла сказать о структуре дуального уравнения более высокого уровня.
Или так он думал. Но Ге был заинтригован геометрическими объектами, описанными Авилой. Он подозревал, что другие свойства этих объектов скрывают ещё больше информации — информации, которая может пролить свет на некоторые аспекты двойственного уравнения. «Я видел, что это очень красивая и важная теория», — сказал Ге.
Он и Житомирская, а также Цзянгун Ю и Ци Чжоу из Нанькайского университета в Китае, нашли новый способ интерпретации геометрического объекта Авилы и применили его к двойственному. Это значительно усилило теорию. Это также позволило Ге, Житомирской и Ю написать единое доказательство, которое решило варианты задачи о 10 мартини во множестве различных ситуаций. Лоскутное одеяло не понадобилось.
Результат подтверждает существование бабочки Хофштедтера как реального явления. Абстрактный мир теории чисел обладает властью в мире физики.
С тех пор математики использовали свою версию глобальной теории Авилы для решения двух других ключевых задач в этой области. Они предсказывают, что это только начало того, что они могут сделать с помощью открытого ими метода. «Мы обнаружили эту скрытую тайну, лежащую в основе глобальной теории», — сказал Ге. «Это было словно маяк в тёмном море, указавший нам верное направление».
Оригинальная статья перепечатана с разрешения журнала Quanta Magazine, редакционно-независимого издания Фонда Саймонса, миссия которого заключается в повышении уровня понимания науки среди общественности путем освещения научных разработок и тенденций в области математики, физических и биологических наук.
Источник: www.wired.com
