Эмили Риль переписывает основы теории высших категорий, одновременно работая над тем, чтобы сделать математику более инклюзивной. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже
Эмили Риль видит сходство между ролью альта в оркестре и теорией категорий в математике.
Введение
Эмили Риль видит сходство между альтом, на котором она играла в детстве, и математической областью теории высших категорий, в которой она в настоящее время является ведущим участником. Она считает эти две области «связующим звеном» в их соответствующих сферах; подобно тому как альт создает более богатое оркестровое звучание, «в некотором смысле теория категорий делает математику глубже», — сказала она.
Категориальная перспектива возникла в математике в 1945 году, когда Сэмюэл Эйленберг и Сондерс Маклейн опубликовали свою радикальную работу «Общая теория естественных эквивалентностей». В ней была предложена глубоко нетрадиционная идея, утверждавшая, что математике необходимо отказаться от знака равенства и всего упрощенного понятия равенства и заменить его более глубокой, более сложной идеей «эквивалентности».
Вместо того чтобы называть две вещи абсолютно равными, Эйленберг и Маклейн призвали математиков принять сложные новые математические структуры, которые отражали бы множество способов, которыми две вещи могут быть одинаковыми или эквивалентными.
Предложение было встречено со скептицизмом. Риль, доцент кафедры математики в Университете Джонса Хопкинса, говорит, что многие первые читатели работ Эйленберга и Маклейна задавались вопросом: «А это вообще математика?»
Но сомнения быстро развеялись. Сегодня теория категорий и её версия следующего поколения, теория высших категорий, занимают центральное место во многих областях математики, от алгебраической геометрии до математической физики. В этих областях, по словам Риля, «я думаю, что было бы невозможно описать основные изучаемые объекты без категориального языка».
В теории высших категорий математики, такие как Риль, не просто рассматривают способы эквивалентности двух объектов. Они также размышляют об эквивалентности между эквивалентностями, об эквивалентности между эквивалентностями и так далее вверх по бесконечной башне отношений. Эти отношения эквивалентности отражены в абстрактном математическом объекте, называемом категорией бесконечности.
В настоящее время Риль работает над расширением применения категорий бесконечности в математике. Она и её давний соавтор, Доминик Верити из Университета Маккуори в Австралии, почти закончили книгу, которая переписывает обширные, высокотехнические основы этой области. Риль надеется, что их переосмысление сделает теорию высших категорий доступной большему числу математиков, а также предложит новые идеи о том, почему математика эквивалентности так сильна. Отчасти благодаря этой работе Риль недавно была объявлена лауреатом исследовательской премии AWM-Joan and Joseph Birman 2021 года в области топологии и геометрии.
Журнал Quanta недавно побеседовал с Риль о её готовящейся к выходу книге, а также о годах, проведённых ею в австралийском футболе на высоком уровне, о том, как её идентичность как квир-женщины «защищала» её в математике, и об обязанности математиков решать актуальные проблемы социальной справедливости. Это интервью основано на телефонных и электронных беседах и было сокращено и отредактировано для ясности.
Риль в кампусе Университета Джонса Хопкинса, где она является доцентом математики.
В другом интервью вы упомянули, что знали, что хотите стать математиком, с тех пор как «поняли, что это возможно». Когда это было?
Думаю, впервые я услышал о профессии математика в фильме «Парк Юрского периода». Персонаж Джеффа Голдблюма, очевидно, был единственным, кто всерьез воспринимал угрозу динозавров, и он был математиком. Мне было 9 лет.
Каково было осознавать, что у вас уже в столь юном возрасте есть план карьерного роста?
Это очень помогло. Я тоже в детстве занималась музыкой. Играла на альте. Я знала, что дети, которые больше всего занимаются, добиваются лучших результатов. Была совершенно очевидна эта взаимосвязь между усилием и результатом. С довольно юного возраста я понимала, что если найду дело, которым буду увлечена, это даст мне шанс по-настоящему развить свои навыки.
Что вас привлекло в теории категорий?
Когда я учился в университете, меня очень привлекала абстрактная алгебра. Доказательства доставляли мне огромное удовольствие. Если вы доказываете что-то, опираясь на геометрическую интуицию или визуализацию, я никогда не был уверен, что всё понимаю на 100%. У меня было ощущение, что абстрактные вещи мне почему-то понятнее, чем более конкретные, потому что я был более уверен в их правильности. Теория категорий в высшей степени похожа на это.
В чём разница между эквивалентностью и равенством, и что даёт размышление об эквивалентности?
Со временем математики выработали все более гибкое представление о том, что значит «одинаковые» два объекта. В некотором смысле, это развитие неизбежно, поскольку математические объекты становятся все более сложными. Два объекта более высокой категории следует считать «одинаковыми», когда они эквивалентны. По сути, это означает «воспринимаются как одинаковые всеми другими объектами более высокой категории». Тонкость заключается в том, что эквивалентность двух объектов следует фиксировать как дополнительные данные.
Вы сравнили роль теоретика категорий с ролью альтиста в оркестре. В чём их сходство?
Если у вас есть только виолончель и скрипка, это очень красивые инструменты, но их звучание не такое насыщенное, как при добавлении альта, создающего своего рода гармонию среднего уровня. Я действительно думаю, что именно так работает теория категорий во многих разделах математики.
У вас готовится к выходу книга «Элементы ∞-теории категорий», которая, как вы надеетесь, станет своего рода новым стандартным учебником в этой области. Что вдохновило вас на написание этой книги?
В этой книге описаны результаты примерно десяти статей, которые я написал вместе с Домиником Верити, начиная с 2012 года. Мы разрабатывали новый подход к основам теории бесконечных категорий. Эти основы уже были разработаны Андре Жоялем и независимо от него Якобом Лурье. Но они становятся все более важными для определенных областей математики, поэтому многие математики пытаются изучить эти темы, но это непросто и, к сожалению, в некоторой степени зависит от выбора конкретной модели бесконечной категории.
Нажимая кнопку просмотра этого видео, вы соглашаетесь с нашей политикой конфиденциальности.Видео : Обратившись к теории высших категорий, Риль надеется сделать эту мощную перспективу более доступной для других математиков.
И как ваша книга упрощает применение теории высших категорий?
Мы с Домом нашли способ делать все с нуля, позволяющий начать работу независимо от модели. То есть, рассматривать категории бесконечности более абстрактно, а не конкретно. И теперь мы чувствуем, что наша точка зрения достаточно зрелая, чтобы переписать теоремы, опубликованные нами в различных статьях, в более доступной форме, предназначенной для тех, кто изучает это впервые.
Более конкретная, более структурированная модель категорий бесконечности во многом зародилась в результате масштабных фундаментальных работ Якоба Лурье, выполненных более десяти лет назад. Можно ли назвать вашу работу удобным для пользователя переосмыслением работ Лурье?
Часть нашей работы заключается в создании удобной для пользователя переработанной версии теоремы Лурье. Теоремы остались теми же, но доказательства существенно изменились. Появились новые идеи, и, честно говоря, я считаю, что новые доказательства лучше.
Как вы думаете, почему Лурье сам не использовал эту модельно-независимую структуру?
Я не уверен, понимал ли Лурье, что можно представить строгие, независимые от модели доказательства, заложившие основы теории бесконечных категорий. Отчасти причина того, что мы с Домом смогли установить нечто подобное тому, что, как я подозреваю, хотел бы Лурье, заключается в том, что мы пришли к этому позже. Есть также социологический аспект в этой истории. Лурье был вынужден сообществом выбрать конкретную модель для доказательства теорем о бесконечных категориях, потому что эти идеи были настолько новыми, и люди не верили в доказательства, если их использовать.
Теория высших категорий отслеживает бесконечную башню эквивалентностей между математическими объектами.
В математике слава, как правило, достается тем, кто доказывает новые теоремы. Улучшение известных результатов ценится гораздо меньше. Как вы относитесь к этому в контексте вашей книги?
Иногда я считаю себя своего рода консультантом по конкретным темам. Одно из главных удовлетворений в моей карьере заключается не столько в доказанных теоремах, сколько в том, что я играю важную вспомогательную роль в математическом сообществе, приносящую пользу людям.
У Билла Тёрстона был известный пост на MathOverflow, где он отвечал, кажется, студенту, который беспокоился, что не сможет внести свой вклад в математику, потому что не был уверен, насколько он близок к Гауссу, Эйлеру и Гротендику. Тёрстон напомнил этому человеку, что математика — это действительно коллективное дело, и каждый может внести свой вклад.
Похоже, это приносит такое же удовлетворение, как и игра на альте.
Никто не стал бы играть на альте ради славы. Но вы выбираете альт, потому что хотите быть в оркестре, и большую часть времени вы чувствуете себя в самом центре оркестра. Если происходит мощный кульминационный момент, например, драматический финал «Жар-птицы», то вы оказываетесь в самом его эпицентре.
Переходя к другой области, в которой вы преуспели, вы играли в австралийский футбол на высоком уровне, даже выступали за женскую сборную США.
Да, это занимало огромное место в моей жизни на протяжении семи лет.
Но вы больше не играете?
Честно говоря, меня подвело то, что в 2017 году я взял отпуск и уехал в Сидней. Я пробыл там восемь месяцев и отыграл полный сезон за настоящую австралийскую команду. Это было действительно замечательно. Я был в лучшей команде Сиднея. Когда я вернулся, я понял, что после возможности отыграть целый сезон в Австралии, это будет немного разочарованием. Поэтому приношу свои извинения моим американским товарищам по команде. Вот настоящая причина. Я почувствовал, что пора двигаться дальше.
Вы с Майком Шульманом работаете над проектом по переводу теории высших категорий на язык гомотопической теории типов. Вы говорили, что надеетесь, что эта работа позволит преподавать категории бесконечности студентам через 100 лет. Почему это ваша мечта?
Математики считают, что по-настоящему понимают что-то только тогда, когда это кажется простым. Поэтому одна из целей моей области — когда-нибудь сообщество поймет это достаточно хорошо, чтобы мы могли объяснить это студентам. Это своего рода приближение к простоте.
В своем ответе на объявление о присуждении Бирманской премии вы поблагодарили сеть «Женщины в топологии». Почему эта сеть важна для вас?
По моему опыту, доля женщин-математиков сильно варьируется в зависимости от области, и в алгебраической топологии я прекрасно понимаю, почему это такая привлекательная область для молодых женщин. Это во многом связано с очень конкретными, активными усилиями, предпринятыми поколением женщин старше меня, которые создали сеть «Женщины в топологии». Они заслуживают большой похвалы за всё то хорошее, что есть сегодня в алгебраической топологии.
Почему вы стали одним из основателей ассоциации для математиков из числа ЛГБТ-сообщества под названием Spectra?
До создания Spectra не существовало видимой онлайн-ассоциации для математиков-представителей ЛГБТК+. Поэтому, на мой взгляд, одним из наиболее эффективных инструментов Spectra является «список контактов», где вы можете указать свое имя, должность и организацию, а также отметить свою принадлежность к ЛГБТК+ сообществу в математике. Цель этого публичного списка – помочь аспиранту, докторанту или любому, кто хочет узнать, насколько комфортно ему будет в конкретном городе или учреждении, связаться с вами.
Нажимая кнопку просмотра этого видео, вы соглашаетесь с нашей политикой конфиденциальности.Видео : Риль рассказывает о том, как теория высших категорий похожа на альт, почему её привлекает аналитическое письмо и какую ответственность несут математики за решение проблем социальной справедливости.
Вы когда-нибудь сталкивались с дискриминацией как математик нетрадиционной ориентации?
Нет, абсолютно нет. И я думаю, что на самом деле это во многом меня защитило. Мне кажется, что в математике к женственности привязано больше предрассудков, чем к самой женственности как таковой. Как полуандрогинная квир-женщина, я думаю, что лучше вписываюсь в математическое сообщество, чем если бы я была цисгендерной гетеросексуальной женщиной. Думаю, это также означает, что ко мне реже будут приставать, а это ужасно, что случается со многими молодыми женщинами в областях, где женщин недостаточно.
Компания Spectra выступила с заявлением в поддержку движения Black Lives Matter. Вы, наряду с более чем 1500 другими математиками, также подписали обязательство бойкотировать сотрудничество с полицейскими управлениями. Почему для вас было важно подписать это письмо?
Я обеспокоен. У нас определенно были проблемы с коррупцией и злоупотреблениями в полиции Балтимора. А в Университете Джонса Хопкинса разгорелся скандал вокруг предложения администрации создать частную полицейскую службу на территории кампуса. Балтимор — город с преимущественно чернокожим населением, в то время как большинство студентов в кампусе Университета Джонса Хопкинса — не чернокожие. Это меня очень беспокоит за чернокожих студентов в кампусе, включая одного из моих аспирантов.
Какую роль или ответственность, по вашему мнению, несут математики в решении актуальных социальных проблем?
Я считаю очень важным сделать все возможное, чтобы обеспечить всем нашим ученикам равные возможности для обучения. Если в вашем классе есть только один чернокожий представитель коренного населения и больше никого, похожего на него, и все остальные занимаются в учебной группе, а этот человек — нет, это огромная проблема.
Проблема также возникает, если преподаватель использует язык, который подразумевает, что определенные рассуждения тривиальны или что этому все научились в детском саду. Это распространенные стереотипы среди математиков, и я думаю, что они очень отталкивают людей, которые по той или иной причине не изучали модульную арифметику в детском саду. Нам нужно найти способы стать союзниками и наставниками для людей, которые не имеют такого же опыта, как мы.
Источник: www.quantamagazine.org
