Чтобы определить природу бесконечности, математикам предстоит выбор между двумя новыми логическими аксиомами. Их решение может повлиять на будущее математической истины. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже
Исследуя свою вселенную, математики время от времени натыкаются на «дыры»: утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть с помощью девяти аксиом, вместе называемых «ZFC», которые служат фундаментальными законами математики. Большинство математиков просто игнорируют эти «дыры», которые лежат в абстрактных областях и не имеют практических или научных последствий. Но для тех, кто следит за логическими основами математики, их наличие вызывает опасения по поводу основ всей этой науки.
«Как я могу оставаться в какой-либо области и продолжать доказывать теоремы, если основные понятия, которые я использую, проблематичны?» — спрашивает Питер Кёллнер, профессор философии Гарвардского университета, специализирующийся на математической логике.
Главной из этих дыр является гипотеза континуума, 140-летнее утверждение о возможных размерах бесконечности. Каким бы непостижимым это ни казалось, бесконечность проявляется во многих измерениях: например, точек на числовой прямой, вместе называемой «континуумом», больше, чем самих чисел. За пределами континуума лежат ещё большие бесконечности — бесконечная последовательность всё более огромных, но при этом бесконечных сущностей. Гипотеза континуума утверждает, что нет бесконечности между наименьшим видом — множеством чисел, подлежащих подсчёту, — и тем, что она утверждает как второе по величине — континуумом. Она «должна быть либо истинной, либо ложной», — писал математический логик Курт Гёдель в 1947 году, — «и её неразрешимость с помощью аксиом, известных сегодня, может означать лишь то, что эти аксиомы не содержат полного описания реальности».
Бесконечность вызывала споры в математике практически с самого зарождения этой области.
Многолетние поиски более полной аксиоматической системы, способной решить проблему бесконечности и одновременно заполнить множество других пробелов в математике, достигли перепутья. На недавней встрече в Гарварде, организованной Кёллнером, учёные в целом пришли к согласию относительно двух основных претендентов на дополнения к ZFC: аксиомы форсинга и аксиома внутренней модели «V = абсолютная L».
«Если аксиомы принуждения верны, то гипотеза континуума ложна», — сказал Кёллнер. «А если аксиома внутренней модели верна, то гипотеза континуума верна. Если вы рассмотрите целый список проблем в других областях, то аксиомы принуждения ответят на эти вопросы одним способом, а конечная L — другим».
По мнению исследователей, выбор между кандидатами сводится к вопросу о назначении логических аксиом и природе самой математики. Должны ли аксиомы быть зернами истины, которые порождают самую чистую математическую вселенную? В таком случае, наиболее перспективным может быть вариант V=ultimate L. Или же цель заключается в поиске наиболее плодотворных семян математических открытий, критерий, который, по-видимому, благоприятствует навязыванию аксиом? «У обеих сторон несколько расходятся взгляды на цель», — сказал Джастин Мур, профессор математики Корнеллского университета.
Аксиоматические системы, такие как ZFC, устанавливают правила, управляющие совокупностями объектов, называемых «множествами», которые служат строительными блоками математической вселенной. Подобно тому, как ZFC теперь выступает арбитром математической истины, добавление новой аксиомы в свод правил помогло бы сформировать будущее этой области, особенно её взгляд на бесконечность. Но, в отличие от большинства аксиом ZFC, новые аксиомы «не являются самоочевидными или, по крайней мере, не являются самоочевидными на данном этапе наших знаний, поэтому перед нами стоит гораздо более сложная задача», — сказал Стево Тодорчевич, математик из Университета Торонто и Французского национального центра научных исследований в Париже.
Сторонники аксиомы V=ultimate L утверждают, что установление отсутствия бесконечностей между целыми числами и континуумом обещает упорядочить хаос бесконечных множеств, разнообразие которых, по непостижимому, бесконечно. Однако эта аксиома может иметь минимальные последствия для традиционных разделов математики.
«Теория множеств занимается пониманием бесконечности», — сказал Хью Вудин, математик из Калифорнийского университета в Беркли, создатель теории V=ultimate L и один из самых выдающихся ныне живущих специалистов в области теории множеств. Привычные числа, относящиеся к большей части математики, утверждает Вудин, «являются незначительной частью вселенной множеств».
Между тем, навязывание аксиом, которые делают гипотезу континуума ложной, добавляя новый размер бесконечности, также расширило бы границы математики в других направлениях. Это рабочие лошадки, которых обычные математики «могут использовать в полевых условиях, так сказать», — сказал Мур. «На мой взгляд, именно этим в конечном счёте и должны заниматься основания [математики]».
Новые достижения в изучении V=ultimate L и новые применения аксиом принудительного вытеснения, особенно аксиомы, названной «максимумом Мартина» в честь математика Дональда Мартина, оживили дискуссию о том, какую аксиому принять. Существует и третья точка зрения, которая расходится с самой предпосылкой дискуссии. По мнению некоторых теоретиков, существует множество математических вселенных, в некоторых из которых гипотеза континуума верна, а в других — ложна, но все они в равной степени достойны изучения. Между тем, «есть скептики», — сказал Кёллнер, — «люди, которые по философским причинам считают теорию множеств и высшую бесконечность бессмысленными».
Бесконечные парадоксы
Бесконечность вызывала споры в математике практически с самого её зарождения. Споры возникают не из-за понятия потенциальной бесконечности — обещающей числовой прямой бесконечность, — а из-за концепции бесконечности как реального, завершённого и доступного для манипулирования объекта.
«Какие действительно бесконечные объекты существуют в реальном мире?» — спрашивает Стивен Симпсон, математик и логик из Университета штата Пенсильвания. Придерживаясь взгляда, изначально высказанного Аристотелем, Симпсон утверждает, что актуальной бесконечности на самом деле не существует, и поэтому не следует так легко предполагать её существование в математической вселенной. Он возглавляет усилия по освобождению математики от актуальной бесконечности, показывая, что подавляющее большинство теорем можно доказать, используя только понятие потенциальной бесконечности. «Но потенциальная бесконечность сейчас почти забыта», — сказал Симпсон. «В мышлении теории множеств ZFC люди склонны даже не помнить об этом различии. Они просто думают, что бесконечность означает актуальную бесконечность, и всё».
Бесконечность была упакована и продана математическому сообществу в конце XIX века немецким математиком Георгом Кантором. Кантор изобрел раздел математики, занимающийся множествами — совокупностями элементов, которые варьируются от пустых (эквивалент числа ноль) до бесконечности. Его «теория множеств» была настолько полезным языком для описания математических объектов, что в течение десятилетий она стала lingua franca этой области. Список из девяти правил, называемый теорией множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора (ZFC), был разработан и широко принят к 1920-м годам. В переводе на простой английский одна из аксиом гласит, что два множества равны, если они содержат одни и те же элементы. Другая просто утверждает, что бесконечные множества существуют.
Предположение об актуальной бесконечности приводит к тревожным последствиям. Кантор, например, доказал, что бесконечное множество чётных чисел {2, 4, 6,…} можно поставить во «взаимно-однозначное соответствие» со всеми числовыми числами {1, 2, 3,…}, что означает, что чётных чисел столько же, сколько и чётных.
Более шокирующим было его доказательство в 1873 году, что континуум действительных чисел (таких как 0,00001, 2,568023489, число Пи и так далее) является «несчетным»: действительные числа не соответствуют друг другу однозначно с числовыми числами, потому что для любого пронумерованного списка из них всегда можно придумать действительное число, которого нет в списке. Бесконечные множества действительных чисел и числовые числа имеют разные размеры, или, выражаясь языком Кантора, разные «кардинальные числа». Фактически, он обнаружил, что существует не два, а бесконечная последовательность все больших кардинальных чисел, причем каждая новая бесконечность состоит из множества мощности или множества всех подмножеств бесконечного множества перед ней.
Некоторые математики презирали эту мешанину бесконечностей. Один из коллег Кантора называл их «тяжёлой болезнью», другой — «растлителем юношества». Но по логике теории множеств это было правдой.
Кантор задумался о двух наименьших кардинальных числах. «В каком-то смысле это самый фундаментальный вопрос, который можно задать», — сказал Вудин. «Существует ли бесконечность между ними, или бесконечность действительных чисел — это первая бесконечность после бесконечности чисел, используемых для счёта?»
Все очевидные кандидаты на бесконечность среднего размера не подходят. Рациональные числа (отношения целых чисел, например, ½) счётны и, следовательно, имеют ту же мощность, что и сами числа, участвующие в подсчёте. И в любой части континуума (например, между 0 и 1) содержится столько же действительных чисел, сколько и во всём множестве. Кантор предположил, что между счётными множествами и континуумом нет бесконечности. Но он не смог доказать эту «гипотезу континуума» с помощью аксиом теории множеств. Как и никто другой.
Затем, в 1931 году, Гёдель, незадолго до этого получивший докторскую степень в Венском университете, сделал поразительное открытие. С помощью двух доказательств 25-летний Гёдель показал, что такая специфицируемая, но достаточно сложная аксиоматическая система, как ZFC, никогда не может быть одновременно непротиворечивой и полной. Доказательство непротиворечивости её аксиом (то есть отсутствия противоречий) требует дополнительной аксиомы, отсутствующей в списке. А для доказательства непротиворечивости ZFC в сочетании с этой аксиомой требуется ещё одна аксиома. «Теоремы Гёделя о неполноте показали нам, что мы никогда не сможем поймать свой собственный хвост», — сказал Мур.
Неполнота ZFC означает, что математическая вселенная, порождаемая её аксиомами, неизбежно будет содержать пробелы. «Будут [утверждения], которые не могут быть решены этими принципами», — сказал Вудин. Вскоре стало ясно, что континуум-гипотеза, «самый фундаментальный вопрос, который вы можете задать» о бесконечности, и есть такой пробел. Сам Гёдель доказал, что истинность континуум-гипотезы согласуется с ZFC, а Пол Коэн, американский математик, доказал обратное: отрицание этой гипотезы также согласуется с ZFC. Их совместные результаты показали, что континуум-гипотеза фактически независима от аксиом. Для её доказательства или опровержения требуется нечто большее, чем ZFC.
Поскольку гипотеза не подтверждена, многие другие свойства кардинальных чисел и бесконечности также остаются неопределёнными. Для скептиков теории множеств, таких как Соломон Феферман, почётный профессор математики и философии Стэнфордского университета, это не имеет значения. «Они просто не имеют отношения к повседневной математике», — сказал Феферман.
Но для тех, кто проводит дни, блуждая по вселенной множеств, известной как «V», где почти всё бесконечно, вопросы кажутся серьёзными. «У нас нет чёткого представления о вселенной множеств», — сказал Вудин. «Почти любой вопрос, который вы задаёте о множествах, неразрешим. Это неудовлетворительная ситуация».
Вселенная множеств
Гёдель и Коэн, чья совместная работа привела к нынешнему перепутью в теории множеств, оказались основателями двух школ мысли о том, куда двигаться дальше.
Гёдель задумал небольшую модельную вселенную под названием «L», которую можно построить, начиная с пустого множества и итерируя его для построения всё больших и больших множеств. В получившейся вселенной множеств гипотеза континуума верна: между множеством целых чисел и континуумом нет бесконечного множества. «В отличие от хаоса вселенной множеств, L действительно поддаётся анализу», — сказал Вудин. Это делает аксиому «V=L», или утверждение о том, что вселенная множеств V равна «внутренней модели» L, привлекательной. По словам Вудина, есть только одна проблема: «Это серьёзно ограничивает природу бесконечности».
Число L слишком мало, чтобы охватить «большие кардинальные числа» – бесконечные множества, восходящие по бесконечной иерархии, с уровнями, называемыми «недоступный», «измеримый», «Вудин», «суперкомпактный», «огромный» и так далее, в совокупности составляющие какофоническую симфонию бесконечностей. Существование этих больших кардинальных чисел, периодически открывавшихся в течение XX века, не может быть доказано с помощью ZFC, и вместо этого должно быть постулировано с помощью дополнительных «больших кардинальных аксиом». Но за прошедшие десятилетия было показано, что они порождают богатую и интересную математику. «По мере того, как вы поднимаетесь по большой кардинальной иерархии, вы получаете всё более и более значимые следствия», – сказал Кёллнер.
Как отмечали многие математики, сама дискуссия свидетельствует об отсутствии у человека интуиции относительно концепции бесконечности.
Чтобы сохранить эту симфонию бесконечностей, специалисты по теории множеств десятилетиями пытались найти внутреннюю модель, которая была бы столь же безупречной и анализируемой, как L, но включала бы большие кардинальные числа. Однако построение вселенной множеств, включающей каждый тип больших кардинальных чисел, требовало уникального набора инструментов. Для каждой более крупной, более инклюзивной внутренней модели «нужно было делать что-то совершенно иное», — сказал Кёллнер. «Поскольку большая кардинальная иерархия просто продолжается бесконечно, казалось, что нам тоже нужно продолжать бесконечно, строя столько новых внутренних моделей, сколько точек перехода в большой кардинальной иерархии. И это делает ситуацию безнадежной, потому что, как вы знаете, жизнь коротка».
Поскольку не было наибольшего кардинального числа, казалось, что не может быть и окончательного L, внутренней модели, охватывающей их все. «Затем произошло нечто весьма удивительное», — сказал Вудин. В работе, опубликованной в 2010 году, он обнаружил точку разрыва в иерархии.
«Вудин показал, что если достичь уровня суперкомпактов, то произойдёт переполнение, и ваша внутренняя модель включит в себя все более крупные кардинальные числа», — пояснил Кёллнер. «Это был своего рода сдвиг ландшафта. Это дало новую надежду на работоспособность такого подхода. Достаточно просто достичь одного суперкомпакта, и тогда всё будет кончено».
Хотя она ещё не построена, Ultimate L — это название гипотетической внутренней модели, включающей суперкомпакты и, следовательно, все большие кардиналы. Аксиома V = Ultimate L утверждает, что эта внутренняя модель представляет собой универсум множеств.
Вудин, переходящий из Беркли в Гарвард в январе, недавно завершил первую часть четырёхэтапного доказательства предельной гипотезы L и сейчас проверяет её с небольшой группой коллег. Он говорит, что «очень оптимистичен в отношении второго этапа» доказательства и надеется завершить его к следующему лету. «Всё сводится к этой гипотезе, и если её удастся доказать, то будет доказано существование предельной L и подтверждена её совместимость со всеми понятиями бесконечности, не только теми, которые мы мыслили сегодня, но и теми, которые мы когда-либо могли придумать», — сказал он. «Если предельная гипотеза L верна, то есть абсолютно неопровержимое доказательство того, что V является предельной L».
Расширение Вселенной
Даже если окончательная L существует, может быть построена и настолько великолепна, как надеется Вудин, она не является идеальной вселенной для всех. «В истории теории множеств прослеживается противоположный импульс, который говорит нам, что Вселенная должна быть максимально богатой, а не минимальной», — сказала Пенелопа Мэдди, философ математики из Калифорнийского университета в Ирвайне и автор книги «Защита аксиом», опубликованной в 2011 году. «Именно это мотивирует вынуждающие аксиомы».
Чтобы расширить ZFC, обратиться к гипотезе континуума и лучше понять бесконечность, сторонники аксиом форсинга делают ставку на метод, называемый форсингом, первоначально придуманный Коэном. Если внутренние модели выстраивают вселенную множеств с нуля, форсинг расширяет её во всех направлениях.
Тодорчевич, один из ведущих специалистов по этому методу, сравнивает форсинг с изобретением комплексных чисел, которые являются действительными числами с дополнительным измерением. Но вместо того, чтобы начинать с действительных чисел, «вы начинаете с вселенной множеств, а затем расширяете её, формируя новую, более крупную вселенную», — сказал он. В расширенной вселенной, созданной форсингом, существует более широкий класс действительных чисел, чем в исходной вселенной, определяемой ZFC. Это означает, что действительные числа ZFC образуют меньшее бесконечное множество, чем полный континуум. «Таким образом, вы опровергаете гипотезу континуума», — сказал Тодорчевич.
Вынуждающая аксиома, известная как «максимум Мартина», открытая в 1980-х годах, расширяет Вселенную до самых дальних пределов. Она является самым сильным конкурентом для V=ultimate L, хотя и гораздо менее красива. «С философской точки зрения обосновать эту аксиому гораздо сложнее», — сказал Тодорчевич. «Она может быть обоснована только с точки зрения её влияния на остальную математику».
Именно здесь и проявляется форсирование аксиом. Пока V=ultimate L занят строительством замка невообразимых бесконечностей, форсирование аксиом заполняет некоторые проблемные выбоины в повседневной математике. Работы последних нескольких лет, проведенные Тодорчевичем, Муром, Карлосом Мартинесом-Ранеро и другими, показывают, что они наделяют многие математические структуры полезными свойствами, которые упрощают их использование и понимание.
По мнению Мура, подобные результаты дают навязыванию аксиом преимущество перед внутренними моделями. «В конечном счёте, решение должно основываться на вопросе: „Что это даёт математике?“», — сказал он. «Помимо своего собственного внутреннего интереса, какую хорошую математику это создаёт?»
«Я бы ответил, что, безусловно, максимум Мартина отлично подходит для понимания структур классической математики», — сказал Вудин. «На мой взгляд, теория множеств не в этом. Неясно, как максимум Мартина приведёт к лучшему пониманию бесконечности».
На недавней конференции в Гарварде исследователи из обоих лагерей представили новые работы по внутренним моделям и аксиомам форсинга, а также обсудили их относительные достоинства. По их словам, споры, вероятно, будут продолжаться до тех пор, пока один из кандидатов не будет отвергнут. Например, может оказаться, что Ultimate L не существует. Или, возможно, максимум Мартина не так полезен, как надеются его сторонники.
Как отмечали многие математики, сам этот спор свидетельствует об отсутствии у человека интуиции относительно концепции бесконечности. «Пока вы не исследуете последствия континуум-гипотезы, у вас не будет настоящего интуитивного понимания её истинности или ложности», — сказал Мур.
Математика имеет репутацию объективной науки. Но без бесконечных объектов реального мира, на которых можно строить абстракции, математическая истина в какой-то степени становится вопросом мнения — что и является аргументом Симпсона в пользу полного исключения актуальной бесконечности из математики. Выбор между V=ultimate L и максимумом Мартина, пожалуй, не столько проблема истинности-ложности, сколько вопрос о том, что прекраснее: английский сад или лес?
«Это личное дело», — сказал Мур.
Однако область математики известна своим единством и связностью. Подобно тому, как ZFC стала доминировать среди альтернативных фундаментальных систем в начале XX века, прочно внедрив понятие актуальной бесконечности в математическое мышление и практику, вполне вероятно, что сохранится лишь одна новая аксиома, определяющая более полную природу бесконечности. По словам Кёлльнера, «одна сторона обязательно окажется неправой».
Эта статья была перепечатана на ScientificAmerican.com.
Источник: www.quantamagazine.org
