Эти метафорические сады стали центральными объектами современной математики. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже
Введение
В 1940 году французский математик и артиллерийский офицер Жан Лере попал в немецкий плен. Он назвался топологом, опасаясь, что, если они узнают о его истинной области знаний – гидродинамике, – его заставят помогать Германии в войне. Почти пять лет своего заключения Лере продолжал эту уловку, проводя исследования в области топологии – раздела математики, изучающего деформируемые формы. В итоге он создал одну из самых революционных идей в современной математике: понятие «пучка».
По словам Дэвида Бен-Цви из Техасского университета в Остине, после того как в 1950-х и 1960-х годах Александр Гротендик выдвинул на первый план идею Лере, пучки стали играть «ведущую роль» в математике, став «одним из самых основных инструментов в современной алгебраической геометрии».
Как гласит одно вводное объяснение, пучки можно рассматривать как развёртки, построенные поверх других математических объектов. «Представьте, что математический объект — это участок земли, а пучок — это сад на нём», — писал Марк Агриос.
Снопы получили своё название, потому что они представляют собой прикрепление «стеблей» к лежащему под ними объекту. Лере назвал их «faisceaux» (по-французски «снопы»), поскольку такая конструкция напоминала ему связки сжатой пшеницы. Подобно тому, как сады можно выращивать на разных типах земли, снопы можно собирать на вершинах множества различных математических объектов, и, следовательно, они могут принимать самые разные формы.
Даже самые простые пучки представляют собой довольно сложные математические объекты. Чтобы лучше их понять, построим один из них. Вот как сделать простой пучок из прямых линий.
Возьмем в качестве базового объекта действительную числовую прямую:
Мы строим пучок, строя его не по отдельным точкам, а по интервалам. Числовую прямую можно разбить на интервалы бесконечным множеством способов. Один из примеров показан ниже.
Между каждой парой скобок заключен интервал, включающий все точки между ними, за исключением конечных точек. Таким образом, интервал (0, 1) содержит все числа больше нуля и меньше 1.
Пучок содержит все интервалы, а не только какой-то один заданный. Каждому интервалу можно сопоставить набор «сечений». В этом примере сечения — это все возможные прямые линии, проходящие через интервал.
Возьмём только один интервал, как показано ниже. Показаны только три участка, поскольку визуализировать их все одновременно невозможно.
Пучок содержит все сечения на всех возможных интервалах и объединениях интервалов.
Это ошеломляюще хаотичное образование. Оно становится математически интригующим, поскольку скрывает в себе глубинную простоту. На рисунке выше сечения, выбранные для разных интервалов, конфликтуют. Линии проходят друг над другом и друг под другом, а не совпадают.
Математикам интересно понять, что происходит, когда выбирается один участок из каждого интервала и накладывается требование, чтобы различные участки были совместимы друг с другом, чтобы перекрывающиеся интервалы согласовывались. При таком ограничении происходит нечто примечательное.
Если один интервал вложен в другой, линии должны совпадать в месте пересечения.
Из этого локального ограничения вы получаете глобальное следствие. Вместо множества узких линий вы получаете единственно возможные варианты, соответствующие правилу вложенности: прямые линии, продолжающиеся по всей числовой оси.
Они называются глобальными секциями. Одной из особенностей пучков является то, что такие глобальные объекты возникают из локальных ограничений.
Это обход пучка прямых, или линейных функций, по вещественной оси. Это один из простейших пучков.
На числовой прямой можно создать множество пучков. Это аналогично посадке разных цветов в саду на одном участке земли. Существует пучок, состоящий из функций, графики которых не имеют скачков, пучок функций, графики которых не имеют острых углов, и бесконечное множество других.
Но это только начало. Вместо того, чтобы сажать другой цветок, вы можете ухаживать за другим участком земли. Представьте, что вы строите сноп на круге, а не на линии. Это создаёт структуру, похожую на цилиндр бесконечной высоты. Структура объектов, изображённых на этом цилиндре, зависит от конкретной конструкции снопа.
До сих пор все рассмотренные нами пучки можно было рассматривать как семейства функций. Но пучки могут быть (гораздо) сложнее.
Цилиндр на рисунке выше можно представить как вытянутый из бесконечно высокого прямоугольника, стороны которого вы склеили. Если бы вы вместо этого загнули концы прямоугольника перед склеиванием, как на рисунке ниже, то получили бы бесконечно широкую ленту Мёбиуса (нарисовать её невозможно, поэтому мы покажем конечную ленту Мёбиуса). На этой ленте Мёбиуса всё ещё можно рисовать кривые, напоминающие графики.
На любом небольшом участке окружности эта кривая выглядит как график функции. Но в глобальном масштабе это не функция. Это связано с тем, что невозможно определить согласованную глобальную систему координат из-за её скручивания. (Если вы обойдете всю полосу, ваши представления о верхе и низе поменяются местами, что сделает это невозможным.) Математики называют такие объекты «скрученными функциями».
Хотя каждый пучок представляет собой обширную совокупность объектов, можно также рассмотреть совокупность всех пучков на данном математическом объекте — прямой, окружности или какой-либо другой сущности. Это похоже на рассмотрение всех возможных садов, которые можно посадить на данном участке земли. Это даёт нам представление о том, какова эта земля. Некоторые участки представляют собой тропические леса, другие — пустыни. Определение возможных пучков даёт математикам способ исследовать структуру лежащего в их основе пространства, так же как знание того, какие растения растут на определённом типе почвы, даёт нам информацию об этой почве.
Начиная с Гротендика, математики постепенно осознали, что совокупности пучков имеют много общего с совокупностями функций, но на более высоком уровне сложности. Пучки можно складывать и умножать, и даже проводить над ними своего рода исчисление.
В тюрьме Лере открыл дверь в совершенно новый математический мир.
Источник: www.quantamagazine.org
