Объединив язык групп с языком геометрии и линейной алгебры, Мариус Софус Ли создал один из самых мощных математических инструментов. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже
Введение
В математике вездесущие объекты, называемые группами, обладают почти магической силой. Хотя они определяются всего несколькими правилами, группы помогают пролить свет на поразительный спектр тайн. Например, они могут подсказать, какие полиномиальные уравнения разрешимы, или как расположены атомы в кристалле.
И всё же среди всех видов групп один выделяется. Группы Ли (произносится как «Ли»), открытые в начале 1870-х годов, играют ключевую роль в некоторых из самых фундаментальных теорий в физике и внесли значительный вклад в теорию чисел и химию. Ключ к их успеху — сочетание теории групп, геометрии и линейной алгебры.
В общем случае группа — это набор элементов, соединённых с операцией (например, сложением или умножением), которая объединяет два из этих элементов для получения третьего. Часто группу можно представить как симметрию фигуры — преобразования, которые оставляют её неизменной.
Рассмотрим симметрии равностороннего треугольника. Они образуют группу из шести элементов, как показано здесь:
(Поскольку полный поворот возвращает каждую точку треугольника в исходное положение, математики прекращают считать повороты после 360 градусов.)
Эти симметрии дискретны: они образуют набор различных преобразований, которые необходимо применять отдельными, не связанными между собой шагами. Но можно изучать и непрерывные симметрии. Неважно, например, вращаете ли вы фрисби на 1,5 градуса, на 15 градусов или на 150 градусов — вы можете повернуть его на любое вещественное число, и он будет выглядеть так же. В отличие от треугольника, у него бесконечно много симметрий.
Эти вращения образуют группу, называемую SO(2). «Если у вас есть только отражение, хорошо, оно есть, и это хорошо», — сказал Антон Алексеев, математик из Женевского университета. «Но это всего лишь одна операция». Эта же группа, с другой стороны, «представляет собой множество операций в одном пакете» — бесчисленное множество.
Каждый поворот фрисби можно представить как точку на координатной плоскости. Если таким образом изобразить все возможные повороты фрисби, получится бесконечное множество точек, которые вместе образуют окружность.
Это дополнительное свойство и делает SO(2) группой Ли — её можно представить как гладкую, непрерывную фигуру, называемую многообразием. Другие группы Ли могут выглядеть как поверхность бублика, или многомерная сфера, или что-то ещё более странное: группа всех вращений шара в пространстве, известная математикам как SO(3), представляет собой шестимерное переплетение сфер и окружностей.
Каковы бы ни были особенности, гладкая геометрия групп Ли является тем секретным ингредиентом, который повышает их статус среди групп.
По касательной
Мариусу Софусу Ли потребовалось время, чтобы найти себя в математике. Выросший в Норвегии в 1850-х годах, он надеялся после окончания средней школы сделать военную карьеру. Вместо этого, вынужденный отказаться от своей мечты из-за плохого зрения, он поступил в университет, не зная, что изучать. Он посещал курсы астрономии и механики, а также некоторое время увлекался физикой, ботаникой и зоологией, прежде чем наконец увлёкся математикой, в частности геометрией.
В конце 1860-х годов он продолжил учёбу, сначала в Германии, а затем во Франции. В 1870 году, когда началась Франко-прусская война, он находился в Париже. Вскоре он попытался покинуть страну, но его заметки по геометрии, написанные на немецком языке, были приняты за шифрованные сообщения, и его арестовали по обвинению в шпионаже. Через месяц он был освобождён из тюрьмы и вскоре вернулся к занятиям математикой.
В частности, он начал работать с группами. Сорок лет назад математик Эварист Галуа использовал один класс групп для понимания решений полиномиальных уравнений. Теперь Ли хотел сделать то же самое для так называемых дифференциальных уравнений, которые используются для моделирования изменений физической системы со временем.
Его видение дифференциальных уравнений не оправдало его ожиданий. Но вскоре он понял, что изучаемые им группы интересны сами по себе. Так родилась группа Ли.
Многообразие групп Ли стало огромным благом для математиков. Когда они пытаются понять группу Ли, они могут использовать все инструменты геометрии и исчисления, чего нельзя сказать о других типах групп. Это связано с тем, что каждое многообразие обладает одним замечательным свойством: если увеличить достаточно малую область, её кривые исчезают, подобно тому, как сферическая Земля кажется плоской тем из нас, кто ходит по её поверхности.
Чтобы понять, почему это полезно для изучения групп, вернёмся к SO(2). Помните, что SO(2) состоит из всех поворотов фрисби, и эти повороты можно представить в виде точек на окружности. Пока же сосредоточимся на участке окружности, соответствующем очень малым поворотам — скажем, поворотам менее 1 градуса.
Здесь кривая SO(2) едва заметна. При повороте фрисби на 1 градус или меньше любая точка на его ободе движется по почти линейной траектории. Это означает, что математики могут аппроксимировать эти повороты прямой линией, касающейся окружности только в одной точке — касательной. Эта касательная называется алгеброй Ли.
Эта функция чрезвычайно полезна. Математические вычисления с прямой линией гораздо проще, чем с кривой. Кроме того, алгебра Ли содержит собственные элементы (часто изображаемые стрелками, называемыми векторами), которые математики могут использовать для упрощения вычислений относительно исходной группы. «Одним из самых простых разделов математики в мире является линейная алгебра, и теория групп Ли построена таким образом, что постоянно использует линейную алгебру», — сказал Дэвид Воган из Массачусетского технологического института.
Допустим, вы хотите сравнить две разные группы. Соответствующие им алгебры Ли упрощают их ключевые свойства, пояснил Воган, значительно упрощая задачу.
«Взаимодействие между этими двумя структурами, — сказала Алессандра Иоцци, математик из Швейцарского федерального технологического института в Цюрихе, о группах Ли и их алгебрах, — это то, что имеет абсолютно огромный спектр последствий».
Язык природы
Природный мир полон непрерывных симметрий, которые группы Ли отражают, что делает их незаменимыми в физике. Возьмём, к примеру, гравитацию. Гравитационное притяжение Солнца к Земле зависит только от расстояния между ними — например, неважно, с какой стороны от Солнца находится Земля. Таким образом, на языке групп Ли гравитация «симметрична относительно SO(3)». Она остаётся неизменной при вращении системы, на которую она действует, в трёхмерном пространстве.
Фактически, все фундаментальные взаимодействия в физике — гравитация, электромагнетизм и силы, удерживающие вместе атомные ядра, — определяются симметрией группы Ли. Используя это определение, учёные могут объяснить фундаментальные загадки материи, например, почему протоны всегда образуют пары с нейтронами и почему энергия атома существует в дискретных количествах.
В 1918 году Эмми Нётер ошеломила математиков и физиков, доказав, что группы Ли также лежат в основе некоторых из самых фундаментальных законов сохранения в физике. Она показала, что для любой симметрии в физической системе, описываемой группой Ли, существует соответствующий закон сохранения. Например, тот факт, что законы физики сегодня те же, что были вчера и останутся завтра — симметрия, известная как симметрия переноса времени, представленная группой Ли, состоящей из действительных чисел, — подразумевает, что энергия Вселенной должна сохраняться, и наоборот. «Я думаю, даже сейчас это весьма неожиданный результат», — сказал Алексеев.
Сегодня группы Ли остаются важнейшим инструментом как для математиков, так и для физиков. «Определения живут в математике, потому что они обладают силой. Потому что они дают множество интересных примеров и дают хороший способ размышлять о чём-либо», — сказал Воган. «Симметрия повсюду, и именно для этого и существует эта штука».
Источник: www.quantamagazine.org
