Два монументальных труда заставили многих математиков избегать знака равенства. Их цель: перестроить основы дисциплины на более свободном соотношении «эквивалентности». Этот процесс не всегда проходил гладко. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже
Введение
Знак равенства — это основополагающий символ математики. Он, кажется, делает совершенно фундаментальное и бесспорное утверждение: эти вещи абсолютно одинаковы.
Однако растет число математиков, которые считают знак равенства первородной ошибкой математики. Они видят в нем лишь ширму, скрывающую важные сложности в соотношении величин — сложности, которые могли бы открыть решения огромного числа задач. Они хотят переформулировать математику на более свободном языке эквивалентности.
«Мы сами придумали это понятие равенства, — сказал Джонатан Кэмпбелл из Университета Дьюка. — А ведь изначально следовало придерживаться принципа эквивалентности».
Самой видной фигурой в этом сообществе является Джейкоб Лурье. В июле 41-летний Лурье покинул свой пост в Гарвардском университете, чтобы занять должность преподавателя в Институте перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси, где работают многие из самых уважаемых математиков мира.
Идеи Лурье отличаются масштабностью, редко встречающейся в какой-либо области. В своих книгах, занимающих тысячи страниц, насыщенных технической информацией, он разработал совершенно иной способ понимания некоторых из важнейших математических концепций, выйдя за рамки знака равенства. «Я просто думаю, что он считал это правильным способом осмысления математики», — сказал Майкл Хопкинс, математик из Гарварда и научный руководитель Лурье в аспирантуре.
В 2009 году Лурье опубликовал свою первую книгу «Теория высших топосов». Этот том объемом 944 страницы служит руководством по интерпретации устоявшихся областей математики на новом языке «бесконечных категорий». За прошедшие годы идеи Лурье проникли во все более широкий круг математических дисциплин. Многие математики считают их незаменимыми для будущего этой области. «Никто не возвращается к истокам, изучив бесконечные категории», — сказал Джон Фрэнсис из Северо-Западного университета.
Однако распространение категорий бесконечности также выявило трудности роста, которые испытывает такая почтенная область, как математика, всякий раз, когда она пытается усвоить новую большую идею, особенно идею, которая бросает вызов смыслу ее важнейшего понятия. «В математическом сообществе существует определенный уровень консерватизма, — сказал Кларк Барвик из Эдинбургского университета. — Я просто не думаю, что можно ожидать, что какая-либо группа математиков быстро примет какой-либо инструмент откуда бы то ни было, не предоставив им убедительных причин для размышления над ним».
Хотя многие математики приняли концепцию бесконечных категорий, сравнительно немногие читали длинные, весьма абстрактные тексты Лурье целиком. В результате некоторые работы, основанные на его идеях, менее строги, чем это обычно бывает в математике.
«Мне говорили: „Это где-то у Лурье“, — говорит Инна Захаревич, математик из Корнельского университета. — А я отвечаю: „Серьезно? Вы ссылаетесь на 8000 страниц текста“. Это не ссылка, это апелляция к авторитету».
Математики до сих пор пытаются осмыслить как масштаб идей Лурье, так и уникальный способ их представления. Они перерабатывают и переосмысливают его изложение категорий бесконечности, чтобы сделать их доступными для большего числа математиков. В некотором смысле, они выполняют важнейшую работу по управлению, которая должна следовать за любой революцией, переводя преобразующий текст в повседневные законы. Тем самым они строят будущее математики, основанное не на равенстве, а на эквивалентности.
Бесконечные башни эквивалентности
Математическое равенство может показаться наименее спорной идеей. Две бусинки плюс одна бусинка равны трём бусинкам. Что ещё можно сказать по этому поводу? Но самые простые идеи могут быть самыми коварными.
Начиная с конца XIX века, основы математики строились на совокупности объектов, называемых множествами. Теория множеств определяет правила, или аксиомы, для построения и манипулирования этими множествами. Одна из этих аксиом, например, гласит, что можно сложить множество с двумя элементами с множеством с одним элементом, чтобы получить новое множество с тремя элементами: 2 + 1 = 3.
На формальном уровне, чтобы показать равенство двух величин, нужно их сопоставить: сопоставить одну бусинку справа от знака равенства с одной бусинкой слева. Обратите внимание, что после сопоставления всех бусинок лишней не остаётся.
Теория множеств признает, что два множества, каждое из которых содержит три объекта, образуют точные пары, но она не позволяет легко увидеть все различные способы составления пар. Можно соединить первую бусинку справа с первой слева, или первую справа со второй слева и так далее (всего существует шесть возможных пар). Сказать, что два плюс один равно трём, и на этом остановиться, значит упустить из виду все различные способы, которыми они равны. «Проблема в том, что существует множество способов составления пар, — сказал Кэмпбелл. — Мы забываем о них, когда говорим о равенстве».
Здесь вступает в игру понятие эквивалентности. В то время как равенство — это строгое отношение: либо две вещи равны, либо нет, — эквивалентность проявляется в разных формах.
Когда можно точно сопоставить каждый элемент одного множества с элементом другого, это является строгой формой эквивалентности. Но, например, в области математики, называемой теорией гомотопии, две фигуры (или геометрические пространства) эквивалентны, если одну можно растянуть или сжать в другую, не разрезая и не разрывая её.
С точки зрения теории гомотопии, плоский диск и отдельная точка в пространстве эквивалентны — диск можно сжать до этой точки. Однако невозможно сопоставить точки на диске с точками в этой точке. В конце концов, на диске бесконечное количество точек, тогда как эта точка — всего лишь одна точка.
Начиная с середины XX века, математики пытались разработать альтернативу теории множеств, в которой было бы более естественно заниматься математикой в терминах эквивалентности. В 1945 году математики Сэмюэл Эйленберг и Сондерс Маклейн ввели новый фундаментальный объект, в котором эквивалентность была заложена изначально. Они назвали его категорией.
Категории можно заполнять чем угодно. Например, можно создать категорию млекопитающих, в которую войдут все волосатые, теплокровные, кормящие молоком существа мира. Или можно создать категории математических объектов: множества, геометрические пространства или системы счисления.
Категория — это множество с дополнительными метаданными: описанием всех способов связи двух объектов друг с другом, включая описание всех способов эквивалентности двух объектов. Категории также можно рассматривать как геометрические объекты, в которых каждый элемент категории представлен точкой.
Представьте, например, поверхность глобуса. Каждая точка на этой поверхности может представлять собой треугольник различного типа. Пути между этими точками будут выражать отношения эквивалентности между объектами. С точки зрения теории категорий, мы забываем о явном способе описания того или иного объекта и сосредотачиваемся вместо этого на том, как объект расположен среди всех других объектов своего типа.
«Многие вещи мы воспринимаем как вещи, хотя на самом деле это отношения между вещами», — сказала Захаревич. «Фраза „мой муж“ — мы воспринимаем её как объект, но её также можно рассматривать как отношение ко мне. Определённая часть его личности определяется его отношением ко мне».
Представленная Эйленбергом и Маклейном категория хорошо подходила для отслеживания сильных форм эквивалентности. Но во второй половине XX века математики все чаще стали использовать в математике более слабые понятия эквивалентности, такие как гомотопия. «По мере того, как математика становится более тонкой, неизбежно происходит это движение к более тонким понятиям тождественности», — говорит Эмили Риль, математик из Университета Джонса Хопкинса. В этих более тонких понятиях эквивалентности объем информации о том, как связаны два объекта, резко возрастает. Элементарные категории Эйленберга и Маклейна не были предназначены для этого.
Чтобы увидеть, как увеличивается объем информации, сначала вспомним нашу сферу, которая представляет множество треугольников. Два треугольника гомотопически эквивалентны, если один из них можно растянуть или иным образом деформировать, превратив в другой. Две точки на поверхности гомотопически эквивалентны, если существует путь, соединяющий одну точку с другой. Изучая гомотопические пути между точками на поверхности, вы фактически изучаете различные способы связи треугольников, представленных этими точками.
Но недостаточно сказать, что две точки соединены множеством равных путей. Необходимо также учитывать эквивалентность всех этих путей. Таким образом, помимо вопроса о эквивалентности двух точек, теперь нужно спрашивать, эквивалентны ли два пути, начинающиеся и заканчивающиеся в одной и той же паре точек, — существует ли путь между этими путями. Этот путь между путями имеет форму диска, границей которого являются эти два пути.
Дальше можно продолжать. Два диска эквивалентны, если между ними существует путь — и этот путь будет иметь форму трехмерного объекта. Эти трехмерные объекты сами могут быть соединены четырехмерными путями (путь между двумя объектами всегда имеет на одно измерение больше, чем сами объекты).
В конечном итоге вы построите бесконечную башню эквивалентностей между эквивалентностями. Рассматривая всё здание целиком, вы создадите полную перспективу на любые объекты, которые вы выбрали для представления в виде точек на этой сфере.
«Это всего лишь сфера, но, как оказалось, чтобы понять форму сферы, нужно, в некотором смысле, углубиться в бесконечность», — сказал Дэвид Бен-Зви из Техасского университета в Остине.
В последние десятилетия XX века многие математики работали над теорией «бесконечных категорий» — чем-то, что позволило бы отслеживать бесконечную башню эквивалентностей между ними. Несколько человек добились существенного прогресса. Только один достиг конечной цели.
Переписывание математики
Первая работа Джейкоба Лурье по теории бесконечных категорий оказалась неудачной. 5 июня 2003 года 25-летний учёный опубликовал 60-страничный документ под названием «О бесконечных топосах» на научном сайте препринтов arxiv.org. Там он начал намечать правила, по которым математики могли бы работать с бесконечными категориями.
Первая статья была принята не всеми положительно. Вскоре после её прочтения Питер Мэй, математик из Чикагского университета, написал электронное письмо научному руководителю Лурье, Майклу Хопкинсу, в котором говорилось, что в статье Лурье есть несколько интересных идей, но она кажется предварительной и нуждается в большей строгости.
«Я объяснил Майку наши опасения, и Майк передал это сообщение Джейкобу», — сказал Мэй.
Неясно, воспринял ли Лури электронное письмо Мэя как вызов или же он с самого начала планировал свой следующий шаг. (Лури неоднократно отказывался от интервью для этой статьи.) Ясно лишь то, что после критики Лури начал многолетний период продуктивной работы, который стал легендарным.
«Я не могу заглянуть в мозг Джейкоба, поэтому не могу точно сказать, о чём он думал в тот момент», — сказал Мэй. «Но, безусловно, существует огромная разница между черновиком, на который мы реагировали, и окончательными версиями, которые в целом находятся на более высоком математическом уровне».
В 2006 году Лурье опубликовал черновик «Теории высших топосов» на arxiv.org. В этом грандиозном труде он создал механизм, необходимый для замены теории множеств новой математической основой, базирующейся на категориях бесконечности. «Он создал буквально тысячи страниц этого фундаментального механизма, который мы все сейчас используем», — сказал Чарльз Резк, математик из Университета Иллинойса в Урбана-Шампейн, который провел важные ранние исследования категорий бесконечности. «Я не могу представить, чтобы он создал «Теорию высших топосов», которую он написал за два-три года, за всю свою жизнь».
Затем, в 2011 году, Лурье продолжил эту работу, создав еще более масштабное произведение. В нем он заново изобрел алгебру.
Алгебра предоставляет прекрасный набор формальных правил для работы с уравнениями. Математики постоянно используют эти правила для доказательства новых теорем. Но алгебра выполняет свои «гимнастические упражнения» над неподвижными перекладинами знака равенства. Если убрать эти перекладины и заменить их более расплывчатым понятием эквивалентности, некоторые операции становятся намного сложнее.
Возьмем одно из первых правил алгебры, которое дети изучают в школе: ассоциативное свойство, которое гласит, что сумма или произведение трех или более чисел не зависит от того, как эти числа сгруппированы: 2 × (3 × 4) = (2 × 3) × 4.
Доказать, что ассоциативное свойство выполняется для любого списка из трех или более чисел, легко, когда речь идет о равенстве. Это становится сложно, когда дело доходит даже до строгих понятий эквивалентности. Когда же речь заходит о более тонких понятиях эквивалентности, с их бесконечными цепочками путей между ними, даже такое простое правило, как ассоциативное свойство, превращается в настоящую головоломку.
«Это значительно усложняет ситуацию, делая работу с этой новой версией математики, которую мы себе представляем, практически невозможной», — сказал Дэвид Аяла, математик из Университета штата Монтана.
В «Высшей алгебре», последнее издание которой насчитывает 1553 страницы, Лурье разработал версию ассоциативного свойства для категорий бесконечности, а также множество других алгебраических теорем, которые в совокупности заложили основу для математики эквивалентности.
Взятые вместе, его две работы были сейсмическими, это те самые объемы, которые запускают научные революции. «Масштаб был просто колоссальным, — сказал Риль. — Это было достижение на уровне революции Гротендика в алгебраической геометрии».
Однако революции требуют времени, и, как выяснили математики после выхода книг Лурье, последующие годы могут быть хаотичными.
Переваривание коровы
Математики известны своим трезвым мышлением: доказательство верно или нет, идея работает или нет. Но математики — тоже люди, и они реагируют на новые идеи так же, как и люди: субъективно, эмоционально и с чувством личной заинтересованности.
«Мне кажется, что многие статьи о математике написаны в тоне, будто математики ищут эти сверкающие, кристально чистые истины, — сказал Кэмпбелл. — Но это не так. Это люди со своими вкусами и сферами комфорта, и они могут отвергать то, что им не нравится, по эстетическим или личным причинам».
В этом отношении работа Лурье представляла собой серьезный вызов. По сути, это была провокация: вот лучший способ заниматься математикой. Этот посыл был особенно актуален для математиков, которые посвятили свою карьеру разработке методов, которые работы Лурье превзошли.
«В этом процессе существует определенное напряжение, когда люди не всегда рады видеть, как следующее поколение переписывает их работу», — сказал Фрэнсис. «Это одна из особенностей, влияющих на теорию бесконечных категорий, — значительная часть предыдущих работ переписывается».
Работы Лурье были сложны для восприятия и по другим причинам. Объём материала означал, что математикам потребуется потратить годы на чтение его книг. Это практически невыполнимая задача для занятых математиков в середине карьеры, и крайне рискованная для аспирантов, у которых есть всего несколько лет, чтобы получить результаты, которые обеспечат им работу.
Работы Лурье также отличались высокой степенью абстрактности, даже по сравнению с абстрактной природой всего остального в высшей математике. Это был вопрос вкуса, и он пришелся по вкусу не всем. «Многие считали работы Лурье абстрактной бессмыслицей, а многие просто обожали их и принимали», — сказал Кэмпбелл. «Но были и промежуточные реакции, включая полное непонимание».
Научные сообщества постоянно усваивают новые идеи, но обычно медленно, и с ощущением того, что все движутся вперед вместе. Когда возникают масштабные новые идеи, они создают проблемы для интеллектуального механизма сообщества. «Многое было введено одновременно, так что это похоже на удава, пытающегося проглотить корову», — сказал Кэмпбелл. «Через сообщество циркулирует огромная масса информации».
Если вы были математиком, который видел в подходе Лурье лучший способ заниматься математикой, путь вперед был одиноким. Мало кто читал работы Лурье, не было учебников, которые бы их обобщали, и не было семинаров, на которых можно было бы сориентироваться. «Чтобы действительно точно изучить этот материал, нужно было просто сесть и сделать это самостоятельно», — сказал Питер Хейн, аспирант Массачусетского технологического института, который провел год, изучая работы Лурье. «Я думаю, в этом и заключается сложность. Это не просто сесть и сделать это самостоятельно — это сесть и сделать это самостоятельно, прочитав 800 страниц теории высших топосов».
Как и многие новые изобретения, теория высших топосов требует от математиков активного взаимодействия с механизмами, обеспечивающими её работу. Это всё равно что заставлять каждого 16-летнего подростка, мечтающего получить водительские права, сначала учиться ремонтировать двигатель. «Если бы существовала более удобная для водителей версия, она мгновенно стала бы доступнее для более широкой аудитории математиков», — сказал Деннис Гейтсгори, математик из Гарварда, сотрудничавший с Лурье.
Когда люди начали читать работы Лурье и использовать категории бесконечности в своих собственных исследованиях, возникли другие проблемы. Математики писали статьи, используя категории бесконечности. Рецензенты в журналах получали их и спрашивали: «Что это такое?»
«Складывается ситуация, когда [статьи] либо возвращаются из журналов с абсурдными отзывами рецензентов, отражающими глубокие недоразумения, либо публикация занимает несколько лет», — сказал Барвик. «Это может создать неудобства для людей, потому что неопубликованная статья, годами лежащая на вашем сайте, начинает выглядеть немного странно».
Однако самая большая проблема заключалась не в неопубликованных статьях, а в статьях, в которых использовались категории бесконечности, но которые все же были опубликованы — с ошибками.
Книги Лурье — это единственный авторитетный текст по категориям бесконечности. Они предельно строги, но их трудно полностью понять. Они особенно плохо подходят в качестве справочников — сложно найти конкретные теоремы или проверить, действительно ли работает то или иное применение категорий бесконечности, с которым можно столкнуться в чьей-то статье.
«Большинство специалистов в этой области не читали работы Лурье систематически», — сказал Андре Жояль, математик из Университета Квебека в Монреале, чьи ранние работы стали ключевым элементом в книгах Лурье. «Это потребовало бы много времени и сил, поэтому мы как бы предполагаем, что то, что написано в его книге, верно, потому что почти всегда, когда мы что-то проверяем, это оказывается верным. На самом деле, всегда».
Недоступность книг Лурье привела к неточности в некоторых последующих исследованиях, основанных на них. Книги Лурье трудно читать, трудно цитировать, и их трудно использовать для проверки работ других людей.
«В литературе по общей бесконечной категорической теории существует ощущение небрежности», — сказал Захаревич.
Несмотря на весь свой формализм, математика не должна иметь священных текстов, которые могут читать только священники. Этой области нужны как брошюры, так и тома, ей необходимы не только оригинальные откровения, но и интерпретационные работы. А сейчас теория бесконечных категорий по-прежнему существует в основном в виде нескольких больших книг на полках.
«Можно придерживаться позиции: „Джейкоб говорит вам, что делать, и это нормально“, — сказал Резк. — Или же можно придерживаться позиции: „Мы не знаем, как достаточно хорошо представить нашу тему, чтобы люди могли ее понять и использовать в дальнейшем“».
Тем не менее, некоторые математики взялись за задачу сделать категории бесконечности методом, доступным для более широкого круга специалистов в их области.
Теория, понятная пользователю
Для того чтобы перевести категории бесконечности в объекты, способные выполнять реальную математическую работу, Лурье должен был доказать теоремы о них. А для этого ему нужно было выбрать ландшафт, в котором он будет создавать эти доказательства, подобно тому как геометр должен выбрать систему координат для работы. Математики называют это выбором модели.
Лурье разработал категории бесконечности в модели квазикатегорий. Другие математики ранее разработали категории бесконечности в различных моделях. Хотя эти работы были гораздо менее всеобъемлющими, чем работа Лурье, в некоторых ситуациях с ними проще работать. «Джейкоб выбрал модель и проверил, что все работает в этой модели, но часто это не самая простая модель для работы», — сказал Захаревич.
В геометрии математики точно знают, как переходить между системами координат. Они также доказали, что теоремы, доказанные в одной системе координат, применимы и в других.
В случае с категориями бесконечности таких гарантий нет. Тем не менее, когда математики пишут статьи, используя категории бесконечности, они часто легкомысленно переходят от одной модели к другой, предполагая (но не доказывая), что их результаты применимы и к другим моделям. «Люди не уточняют, что именно они делают, и переключаются между всеми этими разными моделями, говоря: „О, всё то же самое“», — сказал Хайн. «Но это не доказательство».
В течение последних шести лет пара математиков пыталась получить эти гарантии. Риль и Доминик Верити из Университета Маккуори в Австралии разрабатывали способ описания бесконечных категорий, который выходит за рамки трудностей, созданных в предыдущих модельно-специфических рамках. Их работа, основанная на предыдущих исследованиях Барвика и других, доказала, что многие теоремы теории высших топосов справедливы независимо от того, в какой модели они применяются. Они доказывают эту совместимость подходящим образом: «Мы изучаем бесконечные категории, объектами которых являются сами эти бесконечные категории», — сказал Риль. «Теория категорий здесь как бы пожирает саму себя».
Риль и Верити надеются продвинуть теорию бесконечных категорий и другим способом. Они уточняют аспекты теории бесконечных категорий, которые работают независимо от используемой модели. Эта «независимая от модели» презентация обладает «готовым к применению» качеством, которое, как они надеются, привлечет в эту область математиков, которые, возможно, оставались в стороне, пока теория высших топосов была единственным путем.
«Чтобы попасть в этот мир, нужно перебраться через ров, — сказал Хопкинс, — и сейчас опускают разводной мост».
Риль и Верити рассчитывают завершить свою работу в следующем году. Тем временем Лурье недавно начал проект под названием «Керодон», который он планирует использовать в качестве учебника в стиле Википедии по теории высших категорий. Спустя тринадцать лет после того, как теория высших топосов формализовала математику эквивалентности, эти новые инициативы представляют собой попытку уточнить и продвинуть эти идеи — сделать математику эквивалентности более доступной для всех.
«Гений играет важную роль в развитии математики, но на самом деле само знание является результатом деятельности сообщества», — сказал Джоял. «Настоящая цель знания — стать знанием сообщества, а не знанием одного или двух человек».
Данная статья была перепечатана на сайте Wired.com .
Источник: www.quantamagazine.org
