Мадонна Йодер в 2017 году изучала горные породы в Массачусетском технологическом институте. Но её страсть — бумага, без ножниц. Сегодня она — эксперт по тесселяции, которая преподаёт, придумывает новые конструкции и пишет статьи по математике, лежащей в её основе.
21 октября 2025 г.
Когда Мадонне Йодер 2017 года было восемь лет, она научилась складывать квадратный лист бумаги снова и снова. Примерно через 16 сложений она держала в руках птицу.
По ее словам, когда она в первый раз потянула за хвост машущего крыльями журавля, то поняла: «О, я сложила это, и теперь это игрушка».
Эта первая фигурка была классикой оригами, которую складывали дети в летних лагерях на протяжении поколений, и для многих это был первый опыт в этом виде искусства. Часто он оказывается и последним. Но Йодер была заворожена. Вскоре она складывала всё, что попадалось ей на глаза: квадратики бумаги из сетевых магазинов для рукоделия, обрезки из дома, еженедельный церковный бюллетень, который она разрезала на кусочки ногтями. Затем она «превращала их в маленьких зверушек и дарила всем гостям, которые были там на той неделе», – говорит она.
Сегодня, возможно, спустя миллионы складываний, Йодер — суперзвезда, известная некоторым как «Королева тесселяции» — по названию математически сложного типа оригами, который она начала изучать во время учебы в Массачусетском технологическом институте.
«Эти узоры могут повторяться бесконечно и складываются на одном листе бумаги», — объясняет Йодер. «Сам узор буквально безграничен, как и количество вариантов, которые можно создать… Их складывают вручную — я не знаю ни одной машины, которая могла бы это сделать, — и это действительно отличный способ просто посидеть, сосредоточиться и расслабиться».
Её работы со временем становились всё сложнее, но создаваемые ею узоры основаны на узнаваемых формах, включая шестиугольники, треугольники, ромбы и трапеции. Йодер складывает и вращает их, создавая повторяющиеся, потенциально бесконечные серии фигур. Представьте себе графический узор с гравюры М.К. Эшера, но выполненный на одном листе бумаги — произведение искусства, основанное на математике и инженерных решениях, в сочетании со сложностью снежинки.
Йодер выросла на юго-западе Вирджинии, в городке Шосвилл в горах Блу-Ридж, где в её меннонитской церкви сидели профессора из Вирджинского политехнического института. «От всех нас, детей, ожидалось поступление в колледж», — говорит она. После того, как она поступила в Массачусетский технологический институт, её брат Джейк получил докторскую степень по материаловедению в Вирджинском политехническом институте и теперь работает с металлами, напечатанными на 3D-принтере. Её мать, Джанет, — физиотерапевт, а отец, Дентон, — инженер компьютерных систем в Вирджинском политехническом институте.
С юных лет Йодер проявляла тягу к рукоделию. «Я была как раз таким ребёнком — мастерила всё подряд. Много вышивала крестиком», — рассказывает она, в том числе и портрет бабушки, который теперь висит в рамке у неё на кухне.
Она также помнит, как в детстве ценила точность. «Мама рассказывает, как, когда мне было пять лет, мы вырезали квадраты, и я подумала: „Мама, твои квадраты недостаточно аккуратные“», — говорит она.
Ближе к концу последнего года обучения в старшей школе Йодер выиграла математический конкурс, получив за это достойный приз: книгу о модульном оригами, в котором несколько листов бумаги складываются и соединяются в замысловатые конструкции. Она взяла отпуск на год в Перу, где продолжила заниматься складыванием, раздавая маленькие модульные фигурки детям, которых встречала во время путешествий.
Йодер всегда занималась складыванием бумаги в одиночестве, руководствуясь только книгами. Вернувшись в Массачусетский технологический институт после Перу, она с удивлением узнала о еженедельных встречах по оригами и ежегодном съезде университетского клуба OrigaMIT.
«Только когда я поступила в Массачусетский технологический институт, я поняла, что это, о, живое пространство, где люди встречаются, что-то конструируют и целыми выходными обсуждают оригами», — говорит она. Она специализировалась на науках о Земле, атмосфере и планетах (EAPS), но весной последнего года обучения записалась на популярный курс Эрика Демейна «Алгоритмы геометрического складывания» и обнаружила, что «исследования оригами — это то, за что людям платят», как она выразилась. Её выпускным проектом для этого курса стал постер на 7-й Международной конференции по оригами в науке, математике и образовании (7OSME). «На этом курсе я и увлеклась исследованиями оригами», — говорит Йодер.
Демейн вспоминает, что Йодер начал изучать концепции, связанные с мозаикой, на его курсе, что в конечном итоге привело к публикации её первой статьи — «Складывание треугольных и шестиугольных лабиринтов», написанной в соавторстве с ним и Джейсоном Ку, тогдашним преподавателем Массачусетского технологического института. В этой статье Йодер помог продемонстрировать, как «обобщить» квадратную сетку лабиринта до треугольных и шестиугольных сеток, изменив базовый рисунок складок. «Мы, вероятно, предложили это как интересную нерешённую задачу, над которой можно работать, и Мадонна нашла в ней по-настоящему счастливую нишу», — говорит Демейн, который не знает ни одного другого бывшего студента, решившего заняться оригами. «Мы предоставили ей возможность провести исследование, но затем она полностью посвятила себя ему».
Но по-настоящему она увлеклась мозаикой только после окончания университета, когда готовилась к четырёх с половиной месяцам стажировки в Израиле, спонсируемой Массачусетским технологическим институтом. «Эти модульные конструкции очень объёмные — я же не привезу с собой целый чемодан», — вспоминает она свои мысли. И она не собиралась оставлять позади себя четыре с лишним месяца работы по складыванию. «Поэтому я решила научиться складывать мозаику сама, потому что она плоская и хорошо лежит в дороге», — говорит она. «Потом это закрепилось у меня в голове и больше не отпускало».
Но оставался практический вопрос зарабатывания на жизнь.
Принципы оригами использовались для создания и разработки самых разных вещей: от крошечных (например, медицинских инструментов или наноразмерных устройств, способных доставлять ДНК в клетки) до крупных (например, складных конструкций, используемых при ликвидации последствий стихийных бедствий, или складных солнечных батарей для космических исследований). Йодер решила, что если она хочет посвятить свою карьеру оригами, ей нужно стать учёным или инженером.
Но после того, как она провела обратную разработку сотен схем оригами, найденных в интернете, и начала разрабатывать свои собственные, она начала подозревать обратное. «Я поняла, что зарабатывать на жизнь, занимаясь оригами, действительно можно», — вспоминает она. «Не скажу, что сейчас, спустя пять лет после этого решения, я достигла того момента, когда могу полностью обеспечить себя оригами, но, к счастью, я вышла замуж за инженера-программиста». (Она познакомилась со своим будущим мужем Мэнни Меразом-Родригесом, когда они оба работали в Ливерморской национальной лаборатории имени Лоуренса: она — стажёром, а затем — аспирантом в области вычислительной геологии.)
Любители оригами скажут, что настоящее оригами не требует разрезов и клея. Йодер разрезает только дисковым резаком, который она использует для создания шестиугольных листов бумаги, складывая их стопкой. Хотя иногда она начинает с квадратов, шестиугольник — её любимая стартовая площадка. Она сгибает бумагу в сетку, а затем, следуя рисунку, созданному в программе векторной графики Inkscape, начинает складывать.
«Главная причина, по которой я сначала рисую узоры, помимо того, что рисунки стали слишком сложными для того, чтобы удерживать их в голове и решать на ходу, заключается в том, что мне нравится поворачивать узор так, чтобы его повторы совпадали с краем, а это можно сделать, только если у вас есть информация о том, как повторы узора совпадают с фоновой сеткой», — объясняет она.
Используя простой инструмент под названием «костяная папка» (Йодер говорит, что она пользуется ею уже много лет и может отличить её по следам износа), она сжимает, сминает и поворачивает бумагу, создавая замысловатый узор, который, теоретически, может длиться вечно. В результате получается красивый, симметричный ряд повторяющихся, переплетающихся фигур, которые выглядят особенно эффектно на свету, напоминая витраж.
Ученые спорят о том, зародилась ли древняя традиция оригами в Японии или Китае, но настоящий мировой расцвет этого искусства пришелся на 1950-е и 1960-е годы, когда издатели начали печатать и массово продавать схемы, показывающие, как складывать бумагу в фигурные фигуры, такие как птицы, рыбы и животные. Бумажная мозаика зародилась в Германии в 1920-х годах, когда художник Йозеф Альберс добавил складывание в свой вводный курс по дизайну в Баухаусе. Эта геометрическая традиция начала набирать популярность в 1980-е и 1990-е годы, и сейчас, по словам Йодера, ею занимаются, пожалуй, десятки тысяч человек. В целом, число любителей оригами, вероятно, исчисляется миллионами.
Эти энтузиасты посещают конференции, смотрят видео на YouTube и проходят онлайн-курсы, большинство из которых посвящено изучению существующих узоров. Йодер создаёт свои собственные: помимо рецензируемых научных статей, посвящённых математическим основам её мозаик (например, «Требования симметрии и формулы проектирования для мозаик оригами» и «Гибридный шестиугольный скрученный интерфейс»), и регулярных презентаций на конференциях по оригами по всему миру, она разработала 696 оригинальных узоров. Каждый год в рамках мероприятия, которое она называет «Advent of Tess», она обучает тысячи онлайн-участников новому узору каждый день декабря, вплоть до Рождества, а её веб-сайт Gathering Folds стал популярным источником не только для работ Йодер, но и для обучения.
Её степень EAPS в Массачусетском технологическом институте может показаться не основой для карьеры художника, но Йодер, изучавшая геологию с дополнительным акцентом на экологию, утверждает, что между этими областями есть связи. «Между кристаллическими структурами и симметриями мозаичных структур существует множество связей», — объясняет она. «Каждый повторяющийся двумерный узор подчиняется одной из групп плоскостной симметрии… Есть вещи, которые повторяются как шестиугольник, есть вещи, которые повторяются как квадрат, есть вещи, которые повторяются как треугольник, и есть вещи, которые повторяются как параллелограмм или прямоугольник. А есть вещи, которые не обладают вращательной симметрией. Эти идеи о том, как всё соединяется и как всё повторяется, определённо перенесены из моего курса кристаллографии».
Йодер называет Роберта Лэнга, художника-оригами и физика, одним из наиболее повлиявших на неё современных мастеров. Он, как и Йодер, имеет математическое и естественнонаучное образование, но выбрал карьеру в искусстве.
«То, что выделяет её среди нынешних художников, — это то, что она действительно систематически изучала строительные блоки мозаики и различные маленькие узоры, которые можно считать строительными блоками, а также правила соединения этих блоков», — объясняет он. «Знание и понимание Мадонны математики и геометрии даёт ей более широкий набор инструментов для создания произведений искусства, и это привело её к успеху как художника. Невозможно отделить искусство от научной подоплеки. Это часть мыслительного процесса, даже если конечная цель лежит в сфере изобразительного искусства».
Для Йодер этот процесс, как вычислительный, так и тактильный, — самоцель. Это почти медитация — способ замедлиться и поразмышлять. Некоторые из её учеников даже предполагали, что в этом может быть некая духовная составляющая. Один из них сказал ей: «Знаешь, имя для этой связи с бесконечностью — Бог, верно?»
«Поэтому я оставляю этот вопрос более открытым», — говорит она. «Я не слишком уверена в том, что означают эти вещи. Я просто рада, что есть эта искра, когда разрабатываю узор: вот как фигуры соединяются вместе, и теперь, когда я их нарисовала, я могу копировать и вставлять, вставлять, вставлять, вставлять, вставлять, и всё просто встаёт на свои места, очень приятно».
Йодер размышляла над тем, не надоест ли ей когда-нибудь погоня за возможностями бесконечных узоров, не достигнет ли она совершенства и не решит ли навсегда отложить папку с костями.
«Но я не уверена, что смогу», — говорит она. «Всегда есть способы всё усложнить».
Сложите сами
Попробуйте сложить мозаику «Танцующие ленты» Мадонны Йодер, состоящую из трех замкнутых спиралей: шестиугольника, треугольника и ромба.
Основные инструкции
1. Скачайте шаблон здесь и вырежьте шестиугольник с помощью шаблона сгиба.
2. Сложите все линии сетки фона, обязательно складывая их в обе стороны, чтобы бумага была готова к формированию выкройки. (Можно предварительно согнуть и все сгибы вне сетки, но Йодер рекомендует сгибать по одному сгибу за раз.) На этой выкройке сгибы горой обозначены сплошными красными линиями, а сгибы долиной — пунктирными синими линиями. Бледные линии внутри сгибов — вспомогательные сгибы, которые используются для подготовки сгибов; они не будут использоваться в окончательной выкройке.
3. Работая со стороны без узора, сложите центральный шестиугольник.
4. Сложите треугольники.
5. Сложите ромбы.
Более подробные инструкции и видеоурок, а также рекомендации по работе с бумагой можно найти на сайте technologyreview.com/tessellation.
Вы также можете зарегистрироваться на ежегодное мероприятие Yoder Advent of Tess — 25-дневный конкурс по складыванию, который начинается 1 декабря — по адресу https://training.gatheringfolds.com/advent.
Источник: www.technologyreview.com
